Sospecho que se suponía que esta pregunta debía especificar un triángulo rectángulo, porque (como señaló Gopal Menon) no es cierto en general.
Para un triángulo rectángulo, supongamos que tenemos longitudes laterales [matemáticas] a, a + h, a + 2h [/ matemáticas], con [matemáticas] h> 0 [/ matemáticas]. Podemos reescalar el triángulo para que [matemática] a = 1 [/ matemática] (y el “nuevo” valor de h es [matemática] h / a [/ matemática]); luego por el teorema de Pitágoras,
[matemáticas] \ begin {align *} 1 ^ 2 + (1 + h) ^ 2 & = (1 + 2h) ^ 2 \\ 2 + 2h + h ^ 2 & = 1 + 4h + 4h ^ 2 \\ 0 & = 3h ^ 2 + 2h-1 \\ 0 & = (3h-1) (h + 1) \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
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La única solución positiva es [matemática] h = \ frac13 [/ matemática], por lo que las longitudes laterales del triángulo escalado son [matemática] 1, \ frac43, \ frac53 [/ matemática], lo que los pone en la proporción 3: 4 : 5.
Nota: Sería igualmente válido reescalar el triángulo para que [math] h = 1 [/ math] y resolver a .
Los lados del triángulo están en progresión aritmética. ¿Probar que la longitud está en proporción 3: 4: 5?