Creo que es justo decir que los functores son una formalización de la noción de analogía. No creo que históricamente así hayan surgido, pero parece correcto.
Pero es un cierto tipo de analogía. Es el tipo que es … functorial. Hay otras analogías, incluso analogías matemáticas útiles, que no son ficticias.
Por ejemplo, hay “programas” o “enfoques” para comprender ciertos temas que tienen un alcance muy amplio. ¿Cómo estudiamos enteros? A menudo, es un proceso de dos pasos: darse cuenta del hecho relativamente sencillo de que los enteros se pueden factorizar de manera única en números primos, luego estudiar los números primos. ¿Cómo estudiamos grupos finitos? De una manera similar: al darse cuenta del hecho menos directo de que los grupos finitos se pueden factorizar de manera única en grupos más pequeños. Algunos de estos grupos más pequeños son “simples”, lo que es análogo a que un número sea primo. Luego estudiamos la basura de grupos simples finitos.
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Por supuesto, esta analogía no es ficticia. No sé de ningún functor que sepa que asigne significativamente un grupo finito a un número de una manera que no destruya esta narrativa. Quizás de manera equivalente, esta analogía no es perfecta. No hay muchas formas interesantes de combinar números primos … básicamente los multiplica. Hay formas más interesantes de combinar grupos. Pero aún así, la analogía es a veces instructiva.
