¿Cuál es el significado matemático preciso de una respuesta impulsiva?

Una entrada de impulso a un sistema dinámico no cambia la ecuación de solución de un sistema dinámico. Establece una condición límite inicial, o punto de partida, del comportamiento del sistema.

Los ingenieros normalmente usan ecuaciones diferenciales de segundo orden para modelar sistemas dinámicos, porque saben cómo resolver estas ecuaciones y son buenas aproximaciones a la dinámica del sistema antes de llegar a esos terribles estados límite donde atraen extraños caóticos atractores y terminan la diversión.

Hay dos formas de abordar el análisis de la respuesta dinámica en sistemas complejos: frecuencia / respuesta modal y análisis de historial de tiempo.

En el análisis modal, resolveríamos previamente las ecuaciones del sistema para sus frecuencias y amplitudes armónicas. Luego, veríamos el contenido armónico del paso de entrada como si fuera generado por una serie de Fourier basada en este conjunto de frecuencias. Veríamos cómo se distribuiría esto a través del espectro de respuesta para determinar las amplitudes de respuesta. Tenga en cuenta que esto suprime el efecto del tiempo en las ecuaciones, lo cual está bien cuando se trata de entradas de impulso.

Para una entrada más compleja, digamos un rastro de movimiento de tierra por un terremoto, se requeriría un enfoque de historia de tiempo donde pasaríamos por la solución de la ecuación en cada punto de tiempo y realizaríamos un análisis de elementos finitos de la respuesta del sistema.

No puedo entrar en las matemáticas de estos temas, y de todos modos para eso son los libros. Pero espero haber arrojado algo de luz sobre el propósito del análisis de entrada escalonada de sistemas dinámicos, lo que ayudará a comprender de qué están hablando los libros de ingeniería.

Digamos que su ODE viene dada por [math] F (y, \ dot {y}, \ ddot {y}, \ ldots, y ^ {(n)}) = f (t) [/ math] y que esto [ math] f (t) [/ math] puede tomar diferentes formas *. Como ejemplo, tome una ODE [matemáticas] \ dot {y} + y = f (t) [/ matemáticas]. Llamamos a [math] f (t) [/ math] la entrada del sistema, y ​​[math] y (t) [/ math] es la salida. Ahora, si toma [math] f (t) = \ theta (t) [/ math] (Heaviside theta) obtendrá la respuesta escalonada del sistema. Si toma [math] f (t) = \ delta (t) [/ math] (Dirac delta) obtendrá la respuesta al impulso.

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* En realidad, en una forma más general, puede tener [matemáticas] F (y, \ dot {y}, \ ddot {y}, \ ldots, y ^ {(n)}) = f (x, \ dot { x}, \ ddot {x}, \ ldots, x ^ {(m)}) [/ math], es decir, las derivadas de la entrada pueden aparecer en el ODE.

La función delta de Dirac proporciona una descripción matemática de la función delta de Dirac, a la que a menudo se hace referencia en el procesamiento de señales como la función o símbolo de impulso unitario. Tiene un valor de cero para todos los valores en la recta numérica real, excepto que en el origen tiene un pico infinitamente delgado. La suma de la integral sobre la recta numérica real es 1.

El artículo realmente describe mejor todas las matemáticas que yo.