¿Cómo se determina si un número es divisible por 7?

Creo que la forma más fácil de probar la divisibilidad por cualquier primo mayor que 5 es simplemente hacerlo. Si quiere hacerlo en su cabeza, a diferencia de la divisibilidad por potencias de 2 o 5, comience desde el lado izquierdo, al igual que la división larga, restando múltiplos de … 7000,700,70,7.

Entonces, por ejemplo, para probar si 587234 es divisible por 7, haz,

587234 -> (restar 560000) 27234 -> (restar 21000) 6234 -> 634 -> 4

que no es divisible por 7. (En este caso, -> significa congruencia mod 7, pero quiero evitar la notación real porque no debes saturar tu proceso de pensamiento con esto: [matemáticas] \ equiv [/ matemáticas], o esto: [matemáticas] \ pmod {7} [/ matemáticas].)

A veces, puede hacer que su cálculo sea más rápido al tomar múltiplos de 7,70,700, etc., que están más cerca del número que está probando, en lugar del más grande menor que él.
Por ejemplo, observe que 6234 está muy cerca de 6300, por lo que podría hacer 6234 -> -66 -> -3 -> 4, que no es 0. En el segundo paso, resta 6300 de 6234, que alternativamente es negativo de 6300 – 6234 (este último podría ser más fácil de procesar en su cabeza).

Por supuesto, como todo, esto requiere práctica para acostumbrarse, pero generalmente he encontrado que esto es simple y generalmente lo suficientemente rápido.

Ofrezco pruebas de los métodos de Vivek Na y Angus Ning en caso de que mis comentarios pasen desapercibidos. El crédito es para ellos por llamarme la atención sobre estos métodos y por ilustrar de manera excelente cómo usarlos en la práctica. Lea sus respuestas antes de leer las mías.

Prueba del método de Ning:

Cada entero y se puede escribir como 10 * x + y donde x e y son enteros. Entonces 10 * x + y = 7 * (x + y) + 3 * (x – 2 * y), entonces 7 divide 10 * x + y si y solo si 7 divide x – 2 * y (ya que 3 y 7 son relativamente primo). Hecho.

Tenga en cuenta que hay infinitas maneras contables de representar cualquier número entero de esta manera, pero probablemente es más simple requerir que y sea el último dígito de la expansión decimal.

Prueba del método védico:

Cada entero puede escribirse como 10 * x + y, donde x e y son enteros. Para probar la divisibilidad por algún número entero N que termina en 1, 3, 7 o 9, encuentre una D múltiple de N que termine en 9. Sea M = (D + 1) / 10. Entonces 10 * x + y es divisible por N si y solo si 10 * x + (D + 1) * y es divisible por N (ya que D es un múltiplo de N) si y solo si x + M * y es divisible por N (ya que 10 y N son relativamente primos). Hecho.

Tenga en cuenta que este paso final es válido precisamente porque D + 1 se elige para que sea divisible por 10. También queda claro por qué esto solo funciona para N que termina en 1, 3, 7 o 9: ningún otro número entero admitirá un final múltiple en 9!

¿Cómo se determina si un número es divisible por 7?

Lo verdaderamente notable de esta pregunta (publicada en 2013) es que todas las respuestas mejor clasificadas (hasta septiembre de 2016), algunas con miles de votos a favor, simplemente suponen que “un número” es una secuencia de dígitos decimales.

Si se permiten tales suposiciones, mi suposición favorita es que el número se proporciona en la base siete. En ese caso, la divisibilidad entre siete es notablemente simple:

Verifique si el último dígito es cero.

Sin tales supuestos, las respuestas ignoran la parte más importante de la pregunta:

¿Cómo se especifica el número?

Por ejemplo, si el número es [matemática] 2 ^ {456} + 3 ^ {89} [/ matemática], incluso las sugerencias de “ simplemente dividir entre siete ” no son tan fáciles de ejecutar. En cambio, necesitará algunas propiedades de la aritmética modular para resolver el problema fácilmente.

Pero “un número” se puede expresar de maneras mucho más exóticas. Por ejemplo:

• El entero más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos positivos de dos maneras diferentes [1];
• La población de la Tierra al mediodía, hora universal, 13 de septiembre de 2016 [2]; o
• El entero positivo más pequeño no definible en menos de doce palabras. [3]

¿Cuál de estos es divisible por siete y cómo lo resuelves?

De hecho, no existe un algoritmo general para determinar si un número es divisible por siete. De hecho, no existe un algoritmo general para determinar si una expresión es un número (que el tercer punto anterior no lo es).

Por supuesto, si hace esa suposición demasiado común de que “un número” es su representación decimal, entonces las otras respuestas son adecuadas, y algunas incluso son bastante interesantes [matemáticas] \ ddot \ smile [/ matemáticas]

Notas al pie

[1] Número de taxi

[2] Reloj mundial de la población: 7,5 mil millones de personas (2016)

[3] Paradoja de las bayas

Hay una manera muy simple de verificar la divisibilidad de un número entre 7
Los siguientes son los pasos para verificar si un no es divisible por 7 0r no

1. Tome el último dígito del no y duplíquelo.
2. Reste esto del número formado después de eliminar el último dígito
   del número original
3. Si el número formado después del paso 2 es divisible por 7, entonces el no original también es divisible por 7.
4. Suponga que el no es bastante grande, entonces el número obtenido después del paso 2 también será bastante grande (1 dígito menos que el número original), por lo que para verificar si este número no es divisible por 7, repita todo el proceso tomando este número como El nuevo original no.

   Tomemos un ejemplo.
   deja que el no sea 343
   Aquí el último dígito es 3, así que lo duplicamos, entonces obtenemos 6
   Ahora reste este 6 del no formado después de eliminar 3, es decir, 34
   Restando 6 de 34, obtenemos 28.
   Ahora, dado que 28 es divisible por 7. S0 el no original también es divisible por 7

   Tomemos otro ejemplo
   Digamos que el no dado es 2023
   Ahora el último dígito es 3, así que lo duplicamos para obtener Restar 6 de 202 obtenemos 196
   ¿Qué pasa ahora? ¿Es 196 divisible por 7? No lo sabemos
   Tomamos 196 como nuestro nuevo número
   Como el último dígito es 6, lo duplicamos a 12
   Restando 12 del no formado, es decir, 19 obtenemos 7
   Como ahora 7 es divisible por 7, el no original también es divisible por 7.

   Espero que esto ayude.
   Fuente: -internet.

Multiplica el dígito más a la izquierda por 3.
Agregue el resultado al siguiente dígito.
Escriba el nuevo número con los dígitos menores que permanecen sin cambios.
Repita hasta que el número sea fácilmente reconocible como un múltiplo de 7, o no.

¿es 19740 divisible por 7?
3 * 1 = 3
3 + 9 = 12
=> 12740
3 * 1 = 3
3 + 2 = 5
=> 5740
3 * 5 = 15
15 + 7 = 22
=> 2240
3 * 2 = 6
6 + 2 = 8
=> 840
3 * 8 = 24
24 + 4 = 28
=> 280 (ya obviamente divisible por 7, pero podemos reducirlo más)
3 * 2 = 6
6 + 8 = 14
=> 140
3 * 1 = 3
3 + 4 = 7
=> 70
3 * 7 = 21
21 + 0 = 21
=> 21
3 * 2 = 6
6 + 1 = 7
=> 7
7 es divisible por sí mismo

También puede hacerlo agrupando los dígitos en pares y usando un múltiplo de 2. Creo que el método por pares es más fácil para números de 3 y 4 dígitos, pero hacer un seguimiento de los resultados para números más largos es más engorroso.

ex. 5740
57 * 2 = 114
114 + 40 = 154
154 es múltiplo de 7 (22 * 7)

Combínalo con esta expresión regular de 10793 caracteres:

^ (0 | 7 | 46 * [29] | (1 | 8 | 46 * 3 | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 | [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (4 | 63 * [18] | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (2 | 9 | 43 * [18])) | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (1 | 8 | 56 * [29]) | (3 | 46 * 5 | (1 | 8 | 46 * 3 | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 | [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (0 | 7 | 63 * 4 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4)) | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5) | (5 | 46 * [07] | (1 | 8 | 46 * 3 | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) ( 6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) (4 | 36 * [07] | (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | ( 6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (0 | 7 | 63 * 4 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4)) | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5))) (1 | 8 | (0 | 7 | [ 29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5) | [29] 6 * 5 | (3 | [07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5 ) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5)) | (6 | (0 | 7 | [29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3) | [29] 6 * 3 | (3 | [07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) ) (5 | [18] 6 * 3 | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (0 | 7 | 63 * 4 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5)))) * (5 | 34 * 6 | (0 | 7 | 34 * [18] | (2 | 9 | 34 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * (4 | [07] 4 * [18])) (3 | 56 * 4 | (6 | 56 * [07]) (4 | 36 * [07]) * (1 | 8 | 36 * 4)) * (1 | 8 | 64 * 6 | (5 | 64 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * (2 | 9 | [07] 4 * 6)) | (2 | 9 | 34 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * (2 | 9 | [07 ] 4 * 6) | (6 | (0 | 7 | [29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3) | [29] 6 * 3 | (3 | [ 07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * ( 2 | 9 | 56 * 3))) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (4 | 63 * [18] | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (2 | 9 | 43 * [18]) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (6 | 36 * [29] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (1 | 8 | 56 * [29])))) | (5 | 46 * [07] | (1 | 8 | 46 * 3 | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3 )) * (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) | (2 | 9 | 46 * 4) ( 3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) (4 | 36 * [07] | (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4 ) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (6 | 36 * [29] | (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (4 | 63 * [18] | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (2 | 9 | 43 * [18])) | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (1 | 8 | 56 * [29])) | (6 | 46 * [18] | (1 | 8 | 46 * 3 | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3 )) * (3 | 63 * [07] | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (1 | 8 | 43 * [07])) | (2 | 9 | 46 * 4 ) (3 | 56 * 4) * (0 | 7 | 56 * [18]) | (3 | 46 * 5 | (1 | 8 | 46 * 3 | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3 )) * (0 | 7 | 63 * 4 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4)) | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5) | (5 | 46 * [07] | (1 | 8 | 46 * 3 | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * ( 2 | 9 | 56 * 3)) * (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) (4 | 36 * [07] | (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4 ) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (0 | 7 | 63 * 4 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4)) | (1 | 8 | 36 * 4 ) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5))) (1 | 8 | (0 | 7 | [29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5) | [29] 6 * 5 | (3 | [07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5)) | (6 | (0 | 7 | [29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3) | [29] 6 * 3 | (3 | [07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3))) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (0 | 7 | 63 * 4 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) ( 4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5)))) * (4 | 34 * 5 | (0 | 7 | 34 * [18] | (2 | 9 | 34 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * (4 | [07] 4 * [18])) (3 | 56 * 4 | (6 | 56 * [07]) (4 | 36 * [07]) * (1 | 8 | 36 * 4)) * (0 | 7 | 64 * 5 | (5 | 64 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * (1 | 8 | [07] 4 * 5) ) | (2 | 9 | 34 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * (1 | 8 | [07] 4 * 5) | (6 | (0 | 7 | [29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3) | [29] 6 * 3 | (3 | [07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07]) ) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3))) (5 ​​| [18] 6 * 3 | ( 2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (3 | 63 * [07] | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (1 | 8 | 43 * [07]) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5 ) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * ( 5 | 36 * [18] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (0 | 7 | 56 * [18]))))) (5 ​​| 46 * [07] | ( 1 | 8 | 46 * 3 | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18 ] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) | (2 | 9 | 46 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) ( 4 | 36 * [07] | (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5 ) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (5 | 36 * [18] | (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (3 | 63 * [07] | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (1 | 8 | 43 * [07])) | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (0 | 7 | 56 * [18])) ) (2 | 9 | 53 * [07] | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (1 | 8 | 43 * [07]) | (1 | 8 | 53 * 6 | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (5 | 36 * [18] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (0 | 7 | 56 * [18] )) | (4 | [07] 6 * 3 | (1 | 8 | 53 * 6 | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) ( 4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (5 | [07] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3) ) (5 | [18] 6 * 3 | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (3 | 63 * [07] | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (1 | 8 | 43 * [07]) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (5 | 36 * [18] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (0 | 7 | 56 * [18]))) | (6 | 53 * 4 | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4) | (1 | 8 | 53 * 6 | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4 ) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5)) | (4 | [07] 6 * 3 | (1 | 8 | 53 * 6 | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6) ) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (5 | [07] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) ( 4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3) ) * (0 | 7 | 63 * 4 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5)))) (1 | 8 | (0 | 7 | [29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5) | [29] 6 * 5 | (3 | [07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5)) | (6 | (0 | 7 | [29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3) | [29] 6 * 3 | (3 | [07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3))) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * ( 2 | 9 | 56 * 3)) * (0 | 7 | 63 * 4 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5) ))) * (4 | 34 * 5 | (0 | 7 | 34 * [18] | (2 | 9 | 34 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * (4 | [07] 4 * [18])) (3 | 56 * 4 | (6 | 56 * [07]) (4 | 36 * [07]) * (1 | 8 | 36 * 4)) * (0 | 7 | 64 * 5 | (5 | 64 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * (1 | 8 | [07] 4 * 5)) | (2 | 9 | 34 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * (1 | 8 | [07] 4 * 5) | (6 | (0 | 7 | [29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3) | [ 29] 6 * 3 | (3 | [07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4 ) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3))) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07] )) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (3 | 63 * [07] | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (1 | 8 | 43 * [07]) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (5 | 36 * [18] | ( 1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (0 | 7 | 56 * [18]))))) * (3 | 53 * [18] | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (2 | 9 | 43 * [18]) | (1 | 8 | 53 * 6 | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (6 | 36 * [29 ] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (1 | 8 | 56 * [29])) | (4 | [07] 6 * 3 | (1 | 8 | 53 * 6 | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3) ) | (5 | [07] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (2 | 9 | 63 * 6 | ( 1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4 ) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (4 | 63 * [18] | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (2 | 9 | 43 * [18]) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (6 | 36 * [29] | ( 1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (1 | 8 | 56 * [29]))) | (6 | 53 * 4 | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4) | (1 | 8 | 53 * 6 | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5)) | (4 | [07] 6 * 3 | (1 | 8 | 53 * 6 | (0 | 7 | 53 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (5 | [07] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (0 | 7 | 63 * 4 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5)))) (1 | 8 | (0 | 7 | [29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5) | [29] 6 * 5 | (3 | [07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5)) | (6 | (0 | 7 | [29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3) | [29] 6 * 3 | (3 | [07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3))) (5 ​​| [18] 6 * 3 | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * (0 | 7 | 63 * 4 | (1 | 8 | 63 * 5 ) (6 | 43 * 5) * (5 | 43 * 4) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (2 | 9 | 36 * 5 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (4 | 56 * 5)))) * (5 | 34 * 6 | (0 | 7 | 34 * [18 ] | (2 | 9 | 34 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * (4 | [07] 4 * [18])) (3 | 56 * 4 | (6 | 56 * [07] ) (4 | 36 * [07]) * (1 | 8 | 36 * 4)) * (1 | 8 | 64 * 6 | (5 | 64 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * ( 2 | 9 | [07] 4 * 6)) | (2 | 9 | 34 * 3) (6 | [07] 4 * 3) * (2 | 9 | [07] 4 * 6) | (6 | ( 0 | 7 | [29] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3) | [29] 6 * 3 | (3 | [07] 3 * 6 | (2 | 9 | [07] 3 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4 ) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3))) (5 | [18] 6 * 3 | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (6 | 56 * [07])) * (0 | 7 | 36 * 3 | (1 | 8 | 36 * 4 ) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) | (6 | [18] 6 * 4) (3 | 56 * 4) * (2 | 9 | 56 * 3)) * ( 4 | 63 * [18] | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (2 | 9 | 43 * [18]) | (2 | 9 | 63 * 6 | (1 | 8 | 63 * 5) (6 | 43 * 5) * (0 | 7 | 43 * 6)) (4 | 36 * [07] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * ( 6 | 56 * [07])) * (6 | 36 * [29] | (1 | 8 | 36 * 4) (3 | 56 * 4) * (1 | 8 | 56 * [29])))) PS

(Bueno, no solicitaste la forma más simple . Sin embargo, esto probablemente sea bastante cercano a la expresión regular más simple. Ver también mi respuesta a ¿Cuál fue el proceso de creación de esta expresión regular que verifica la divisibilidad entre 7?)

La respuesta del usuario 9479463705020282020 me dejó boquiabierto cuando lo intenté por primera vez. Había tomado nota de que esto es algo que debería memorizar porque no solo es un truco genial, sino que podría resultar útil al diseñar algunos algoritmos relacionados con la divisibilidad.

Pero uno de los métodos que muchos de ustedes pudieron haber perdido fue en la sección de comentarios dada por Ivan Li, que es mucho más fácil de aprender, aunque tienen los mismos algoritmos. Tome el dígito del lado más a la izquierda, que es decir ‘n’. A partir de 0, viaje ‘n’ número de flechas negras y luego la gris. Continúe de la misma manera tomando el siguiente dígito y así sucesivamente.

Si termina en 0, entonces el número es divisible por 7; de lo contrario, no lo es.

PD: Para memorizar el diagrama, solo necesita comprender que las flechas grises conectan el número x con su resto cuando 10x dividido por 7.

Divida el número en conjuntos de 3 a partir de la derecha, y sume / reste alternativamente. El resultado si es divisible por 7, indica que el número original es divisible por 7.

Ejemplo: 888777666
Dividir en conjuntos de 3 a partir de la derecha -> (888); (777); (666)

Comenzando desde la derecha, sumar / restar cada conjunto alternativamente

Suma = (888) – (777) + (666) = 777

Nuestra suma es divisible por 7, y también lo es el número original.

Explicación
Toma un no. a B C D e F
Esto se puede escribir como: – abc (1000) + def
(abcdef) Mod7 = [abc (1000) + def] Mod7 = [abc (-1) + def] Mod7 = (-abc + def) Mod7

La divisibilidad de 7 se reduce a la suma de sustracciones de tripletes.

Nota: Esto es lo mismo que uno podría haber encontrado para la divisibilidad de 11 en donde se suman / restan dígitos alternativos. Uno puede deducir la razón de eso usando un enfoque similar al anterior.

El siguiente algoritmo lo ayudará a determinar si un número es divisible por 7.

Algoritmo
Deje que el número para marcar sea N.

Mientras (N es mayor o igual que 10)
Representa N como 10 * X + Y
Do N = | X – 2 * Y |

Si N es igual a 7 o 0
Entonces N era divisible por 7

Prueba:
Sea N el número a probar y R sea el resto después de la división con 7 y luego (N mod 7) = R.
Supongamos que N = (10 * X + Y)
((10 * X + Y) mod 7) = R
((7 * X + 3 * X + Y) mod 7) = R
((3 * X + Y) mod 7) = R – eq (1)

(N mod 7) = R
((10 * X + Y) mod 7) = R
((9 * X + 3 * Y + X – 2 * Y) mod 7) = R
(3 * (3 * X + Y) + X – 2 * Y) mod 7) = R
Por la ecuación (1): (3 * X + Y) mod 7 = R
Por lo tanto ((3 * R + X – 2 * Y) mod 7) = R
Entonces, para R = 0, ((X – 2 * Y) mod 7) = 0

Por ej.
123 => 12 – (2 * 3) => 6 no divisible por 7
126 => 12 – (2 * 6) => 0 divisible por 7

Cómo funciona:

Para encontrar el resto al dividir un número entre 7, comience en el nodo 0, para cada dígito D del número, muévase a lo largo de las flechas negras D (para el dígito 0 no se mueva en absoluto), y al pasar de un dígito al siguiente , mueva a lo largo de una sola flecha blanca.

Por ejemplo, sea n = 325 .
Comience en el nodo 0, avance a lo largo de 3 flechas negras (al nodo 3), luego 1 flecha blanca (al nodo 2), luego 2 flechas negras (al nodo 4), luego 1 flecha blanca (al nodo 5) y finalmente 5 negras flechas (al nodo 3).
Terminar en el nodo 3 muestra que el resto al dividir 325 por 7 es 3.

Fuente: Divisibilidad por 7 es un Walk on a Graph. II

Compartiré un método que descubrí mientras exploraba la aritmética modular.

Llamemos al número que se verificará como num.
Digamos que los dígitos en orden de izquierda a derecha son a, b, c, d.

ahora, [matemáticas] num = a * 1000 + b * 100 + c * 10 + d [/ matemáticas]

necesitamos determinar si num es divisible por 7, es decir, [math] num% 7 == 0 [/ math].

‘%’ se llama operación de módulo y a% b representa el resto al dividir a por b.

Utilizando,

Nuestra tarea se reduce a calcular cada uno de los términos en el módulo num. 7.

¡Podemos encontrar un multiplicador adecuado para cada “lugar” (como el lugar de la unidad, etc.) en el número y al sumar los productos de los dígitos y sus respectivos multiplicadores num serán divisibles por 7 solo si la suma resulta ser cero!

¡Tenga en cuenta que tomar un módulo con 7 en cada paso hará que los cálculos sean muy pequeños y fáciles de manejar también!

También para un dígito [matemático] i [/ matemático] dígitos lejos de la derecha, este multiplicador es simplemente [matemático] 10 ^ i% 7 [/ matemático]

Vamos a verlo en acción … !!

Para [matemáticas] num = 1393 [/ matemáticas]

Inicializar [matemáticas] suma = 0 [/ matemáticas]

para el dígito en la posición 0 desde la derecha:

[matemáticas] mult = 1% 7 es decir 1 [/ matemáticas]
entonces [matemática] suma = (0 + (3 * 1))% 7
= 3 [/ matemáticas]

para el dígito en la posición 1 desde la derecha:

[matemáticas] mult = 1 * 10% 7 es decir, 3 [/ matemáticas]
entonces [matemática] suma = (3 + (9 * 3))% 7
= 2 [/ matemáticas]

para el dígito en la posición 2 desde la derecha:

[matemáticas] mult = 3 * 10% 7 es decir, 2 [/ matemáticas]
entonces [matemática] suma = (2 + (3 * 2))% 7
= 1 [/ matemáticas]

para el dígito en la posición 3 desde la derecha:

[matemáticas] mult = 2 * 10% 7 es decir, 6 [/ matemáticas]
entonces [matemática] suma = (1 + (1 * 6))% 7
= 0 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [math] mult [/ math] se puede calcular repetidamente multiplicando el valor anterior por 10 y tomando mod por 7
.
Nada que memorizar solo sigue progresando desde la derecha y si terminas con cero como suma, ¡el número es divisible por 7!

Si sigues calculando así, te darás cuenta de que esto forma un ciclo 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, …

De hecho, esta técnica puede funcionar para todas sus preguntas “Cómo verificar la divisibilidad por X” … 🙂

para la divisibilidad por 3 el ciclo es solo 1,1,1,1 …

para 11 es 1, 10, 1, 10, …

Básicamente, desea saber si el número dado [matemática] n [/ matemática] es divisible por 7, y [matemática] \ frac {n} {7} [/ matemática] es divisible por 2. Dado que 7 y 2 son co- primo, eso se traduciría básicamente en que [math] n [/ math] es par y también divisible por 7. La uniformidad se puede verificar marcando el último dígito. Debe ser uno de [matemática] 0, 2, 4, 6, 8 [/ matemática]. Para verificar la divisibilidad entre 7, esto es lo que debe hacer:

Asumiré que tienes la representación decimal del número. Deje que el número esté representado por [math] a_n a_ {n-1} … a_2 a_1 [/ math]. Eso simplemente significa que el número es [matemática] a_0 + 10 a_1 + 100 a_2 +… + 10 ^ {n-1} a_ {n-1} + 10 ^ n a_n [/ matemática]. Ahora, antes de continuar, me gustaría decir lo siguiente:

[matemática] (A + B) mod \ \ n = \ [/ matemática] [matemática] (A \ \ mod \ \ n + B \ \ mod \ \ n) mod \ \ n [/ matemática]
es decir, [matemáticas] A + B \ equiv (A \ \ mod \ \ n + B \ \ mod \ \ n) (mod \ \ n) [/ matemáticas]

Y [math] (A \ times B) mod \ \ n = \ [/ math] [math] (A \ \ mod \ \ n \ times B \ \ mod \ \ n) mod \ \ n [/ math]
es decir, [math] A \ times B \ equiv (A \ \ mod \ \ n \ times B \ \ mod \ \ n) (mod \ \ n) [/ math]

ambos siguen cuando escribe [matemáticas] A = p \ veces n + a [/ matemáticas] y [matemáticas] B = q \ veces n + b [/ matemáticas] donde [matemáticas] a, b

Además, tenga en cuenta que:

[matemáticas] 10 \ equiv 3 (mod \ \ 7) [/ matemáticas]
[matemáticas] 10 ^ 2 \ equiv 3 ^ 2 \ equiv 9 \ equiv 2 \ \ (mod \ \ 7) [/ matemáticas]
[matemáticas] 10 ^ 3 \ equiv 10 \ veces 10 ^ 2 \ equiv 3 \ veces2 \ equiv 6 \ \ (mod \ \ 7) [/ matemáticas]
[matemáticas] 10 ^ 4 \ equiv (10 ^ 2) ^ 2 \ equiv 2 ^ 2 \ equiv 4 \ \ (mod \ \ 7) [/ matemáticas]
[matemáticas] 10 ^ 5 \ equiv 10 \ veces 10 ^ 4 \ equiv 3 \ veces4 \ equiv 12 \ equiv 5 \ \ (mod \ \ 7) [/ matemáticas]
[matemáticas] 10 ^ 6 \ equiv (10 ^ 3) ^ 2 \ equiv 6 ^ 2 \ equiv 36 \ equiv 1 \ \ (mod \ \ 7) [/ matemáticas]

Después de eso, se repetiría el mismo orden.

Decimos que el orden de 10 en la base 7 es 6. Lo que esto significa es que la potencia mínima de 10 que produce 1 en la base 7 es 6. Es posible que haya adivinado la importancia del orden de 10. Podemos descubrir fácilmente cualquier potencia de 10 en mod \ \ 7. Entonces, por ejemplo

[matemáticas] 10 ^ {100} \ equiv ((10 ^ 6) ^ {16}) \ veces 10 ^ 4 \ equiv 4 \ \ (mod \ \ 7) [/ matemáticas]

Para generalizar:

[matemáticas] 10 ^ x \ equiv 10 ^ {x \ mod \ 6} (mod \ \ 7) \ \ [/ matemáticas]

Ahora, usando todo esto, podemos decir:

[matemáticas] a_0 + 10 a_1 + 100 a_2 +… + 10 ^ {n-1} a_ {n-1} + 10 ^ n a_n \ equiv [/ matemáticas] [matemáticas] a_0 + 3 a_1 + 2 a_2 + 6 a_3 + 4 a_4 + 5 a_5 [/ matemática] [matemática] +… (repetir \ los \ coeficientes) +… [/ matemática]

Entonces llegamos a nuestra regla de divisibilidad:

Agregue todos los dígitos desde la derecha (el más bajo significativo) de una manera especial: agregue el primero como está, multiplique el segundo por 3, el tercero por 2, el cuarto por 6, el quinto por 4, el sexto por 5 y así sucesivamente. Después del sexto dígito repite los coeficientes multiplicativos: [matemática] 1, 3, 2, 6, 4, 5 [/ matemática]. Al final, si la suma que obtiene es divisible por 7, entonces el número original también lo es, y viceversa. Si la suma en sí tiene muchos dígitos, puede volver a aplicar esta regla.

Ahora que tiene la regla, puede pensar en todas las formas creativas de aplicar esto. Para hacerlo ligeramente eficiente, notamos que [matemática] 6, 4, 5 [/ matemática] son ​​[matemática] -1, -3, -2 \ \ (mod \ \ 7) [/ matemática]. Entonces podemos modificar la regla, ahora en lugar de tener que recordar seis números, solo tenemos que recordar tres y los tres restantes son iguales con el signo cambiado. Si la suma final resulta ser negativa, usted sabe que será divisible por 7 [matemática] si f [/ matemática] su contraparte positiva es divisible por 7. Así que voltea el signo y vuelve a aplicar la regla. Otra cosa, si cualquier dígito es [matemática] \ ge7 [/ matemática], resta 7 antes de multiplicar el coeficiente y sumar.

Aquí he resaltado el proceso que puede aplicar para llegar a cualquier regla de divisibilidad. Puede observar fácilmente que las reglas para [matemáticas] 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11 [/ matemáticas] etc. pueden derivarse de manera similar.

Una mirada especial a 9 y 11:

Como [matemática] 10 ^ x \ equiv 1 \ \ (mod \ \ 9) \ forall x \ en N [/ matemática], la suma de los dígitos es la misma que el número mismo en la mod 9. Para 11, [matemática] 10 ^ x \ equiv (-1) ^ x \ \ (mod \ \ 11) \ forall x \ en N [/ math] por lo que sumamos / restamos los dígitos alternativamente y luego verificamos la divisibilidad por 11.

Esto es cierto para cualquier base, no solo para 10. Por ejemplo, si representa el número en la base 8, entonces los dígitos de la suma serán los mismos que el número en el mod 7. Y si representa el número en la base 6, el número será divisible por 7 si y solo si la suma / diferencia alternativa de sus dígitos es divisible por 7.

• Aquí hay un pequeño algoritmo para probar si un entero es divisible por 7: Duplique el último dígito del entero y reste este valor del entero original con el último dígito eliminado. Si este nuevo número es divisible por 7, también lo es el número original. De lo contrario no lo es.

Vamos a ver si 5362 es divisible por 7:
536 – 2 (2) = 532
53 – 2 (2) = 49
Dado que 49 es divisible por 7, también lo es 532. Dado que 532 es divisible por 7, también lo es 5362.

Si desea ver más trucos de divisibilidad, tengo un artículo aquí: Trucos de divisibilidad matemática – OBTENGA 800

Y aquí está la versión en video:

Aquí hay algunas reglas de divisibilidad que inventé hace un par de años, mencionadas en mi blog.
Algunas reglas de divisibilidad de enteros
También tengo uno para 7 que se da a continuación

Cómo encontrar si un número es Divisibile entre 7

1. Obtenga la Mod del número con base 10, en otras palabras, corte el último dígito del número y multiplique ese dígito por 2 = deje que este número sea n1
2. Obtenga el DIV del número con base 10 = deje que este número sea n2
3. Nuevo número = n2 – n1

Repita los pasos 1-3 hasta llegar a 7, en cuyo caso el número es divisible por 7, de lo contrario no es
Ejemplo – 8638

1. 8638 Mod 10 = 8 – múltiple 8 por 2 = 16 = n1
2. 8638 DIV 10 = 863 = n2
3. Nuevo número = 863 – 16 = 847

Repetir

1. 847 Mod 10 = 7 – multiplica por 2 = 14 = n1
2. 847 Div 10 = 84 = n2
3. Nuevo número = 84 – 14 = 70

Repetir

1. 70 Mod 10 = 0
2. 70 Div 10 = 7
3. Nuevo número = 7 – Por lo tanto, 8638 – el número original es divisible por 7

Aquí hay una regla que le permite construir una regla de divisibilidad para cualquier número.

Regla para 7

7 tiene un “número mágico” de 5. Si quiero verificar si un número, digamos 123, es divisible por siete, multiplico el último (unos) dígito por 5 y lo agrego al número formado después de soltar el último dígito (3 * 5 + 12 = 27). Si (y solo si) el resultado es divisible por 7, el número en sí es divisible.

Por supuesto, esto generalmente requiere un par de rondas de ciclos repetidos de multiplicar y cambiar para números más grandes; por ejemplo, en 1234, el primer multiplicar y cambiar nos da 4 * 5 + 123 = 163, y no está claro de inmediato que 163 no es un múltiplo de siete. La repetición del proceso en 163 (3 * 5 + 16 = 31) aclara esto.

Construir una regla para un número general que no sea múltiplo de 5 o 2

El procedimiento es el mismo, solo que el número mágico varía. Simplemente tomamos el número y encontramos el primer múltiplo * del número que termina en 9. Agregue uno, divídalo entre 10 y obtendrá su número mágico. Para 7 obtenemos 49-> 50-> 5. Para 3 y 9 obtenemos 9-> 10-> 1 (que en una inspección más cercana es una reformulación de la regla de divisibilidad de suma de dígitos para 3 y 9)

Construyendo una regla de divisibilidad para cualquier número

Simplemente factorízalo en la forma [matemáticas] 10 ^ l \ veces 5 ^ m \ veces q ^ n [/ matemáticas] o [matemáticas] 10 ^ l \ veces 2 ^ m \ veces q ^ n [/ matemáticas], donde [ matemáticas] q [/ matemáticas] no es divisible por 5 o 2.

Ya sabemos cómo verificar la divisibilidad por una potencia de 10. Para 5^m , la regla es que los últimos m dígitos deben ser divisibles por 5^m . Lo mismo vale para 2^m . (También vale 10^m para ese asunto; nuestra regla “debe tener m ceros” es solo una reformulación de la misma).

Junte las tres reglas para la divisibilidad por 10^l , la divisibilidad por 2^m 5^m , y la divisibilidad por q (detallada en la sección anterior), y tendrá su regla de divisibilidad personalizada.

Prueba

Deje que [matemática] a [matemática] sea el número que queremos probar para divisibilidad por $ q $, un número que no es un múltiplo de 2 o 5.

Deje [math] a = 10b + c [/ math].

Sea [math] m [/ math] (número mágico), sea tal que [math] 10m-1 \ equiv_q 0 [/ math], o [math] 10m-1 = d \ times q [/ math]. La existencia de [math] m [/ math] puede demostrarse con bastante facilidad: si toma todos los dígitos impares (excepto 5), notará que tienen algunos finales múltiples en 9. Dado que el último dígito de un múltiplo solo depende en el último dígito del número, todos los números que no sean múltiplo de 2 o 5 tendrán un final múltiple en 9.

Ahora,

[matemáticas] a \ equiv_q10b + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a \ equiv_q10b + c + c (10m-1) [/ matemáticas]

como [matemática] 10m-1 \ equiv_q0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica a \ equiv_q 10 (mc + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica q \ mid a \ iff q \ mid10 (mc + b) [/ math]

Como [math] 10 [/ math] no tiene factores comunes con [math] q [/ math],

[matemáticas] \ implica q \ mid a \ iff q \ mid (mc + b) [/ math]

Y esta es exactamente la regla como se indicó anteriormente.

* Puede tomar el segundo múltiplo, o el tercero, o lo que sea, pero tomar el primer múltiplo suele ser más fácil.

En aras de la exhaustividad, agregaría un método más:

Paso 1: Convertir a base 6.

Paso 2: si la diferencia de la suma de sus dígitos en lugares impares y la suma de sus dígitos en lugares pares, es 0 o divisible por 7 (que es 11 en el sistema base 6), entonces el número es divisible por 7.

por ejemplo, para el número 350:

Paso 1: en la base 6, 350 se puede escribir como 1342.

Paso 2: Suma de dígitos en lugares impares = 2 + 3 = 5.
Suma de dígitos en lugares pares = 4 + 1 = 5.
Diferencia de la suma de dígitos en lugares impares y la suma de dígitos en lugares pares = | 5-5 | = 0. Por lo tanto, el número 350 es divisible por 7.

Por supuesto, está inspirado en el truco de divisibilidad para el sistema 11 en base 10. El método más fácil sería simplemente dividir el número por 7.

El que aprendí, aunque admito que Thomas Wooding trabaja mejor y es más simple …

1. Tomar el último dígito
2. Tome el penúltimo dígito, multiplique por, [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y agregue al resultado anterior.
3. Tome el siguiente dígito, multiplique por [matemática] 2 [/ matemática] y agregue al resultado anterior.
4. Tome el siguiente dígito, reste del resultado anterior.
5. Tome el siguiente dígito, multiplique por [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y reste del resultado anterior
6. Tome el siguiente dígito, multiplique por [matemática] 2 [/ matemática] y reste del resultado anterior.
7. Tome el siguiente dígito, agregue al resultado anterior.
8. Tome el siguiente dígito, multiplique por [matemática] 3 [/ matemática], agregue.
9. Repita desde el paso [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. hasta que te quedes sin dígitos.
10. Si el resultado es demasiado grande para decirlo, repita el procedimiento con este nuevo número.

Un número de 8 dígitos como [matemática] 67 \, 654 \, 321 [/ matemática] es:

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 = 1 + 2 \ cdot10 + 3 \ cdot10 ^ 2 + 4 \ cdot10 ^ 3 + 5 \ cdot10 ^ 4 + 6 \ cdot10 ^ 5 + 7 \ cdot10 ^ 6 + 6 \ cdot10 ^ 7 [/ matemáticas]

Si vemos las potencias de 10 módulo 7, son [matemáticas] 1 \ equiv1, 10 \ equiv3, 10 ^ 2 \ equiv2, 10 ^ 3 \ equiv-1, 10 ^ 4 \ equiv-3, 10 ^ 5 \ equiv -2, 10 ^ 6 \ equiv1, 10 ^ {k + 6} \ equiv10 ^ 6 [/ matemáticas].

Entonces, módulo 7

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv1 + 2 \ cdot3 + 3 \ cdot2-4-5 \ cdot3-6 \ cdot2 + 7 + 6 \ cdot3 [/ math]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv1 + 6 + 6-4-15-12 + 7 + 18 = 7 [/ matemáticas]

Entonces [math] 67 \, 654 \, 321 [/ math] es divisible por 7.

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 = 8,664,903 \ veces7 [/ matemáticas].

Usando el método de Woding:

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 = 67 \, 650 \, 000 + 4 \, 321 = 676 \, 500 \ veces100 + 4321 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv676 \, 500 \ times2 + 4 \, 321 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv1 \, 353 \, 000 + 4 \, 321 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv1 \, 357 \, 321 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv1 \, 350 \, 000 + 7 \, 321 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv13 \, 500 \ times100 + 7 \, 321 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv13 \, 500 \ times2 + 7 \, 321 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv27 \, 000 + 7 \, 321 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv34 \, 321 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv34 \, 300 + 21 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv343 \ times100 + 21 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv343 \ times2 + 21 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv686 + 21 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv707 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv700 + 7 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv7 \ times100 + 7 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv7 \ times2 + 7 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv14 + 7 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 \, 654 \, 321 \ equiv21 \ mod7 [/ matemáticas]

Este método funciona módulo [matemáticas] 98 [/ matemáticas], y los factores de [matemáticas] 98 [/ matemáticas]: [matemáticas] 49, 14, 7, 2 [/ matemáticas].

¡Porque la fórmula de De Polignac se puede usar para detectar el número de [matemáticas] p [/ matemáticas] en [matemáticas] x! [/ matemáticas] como;
[matemáticas] a_p (x) = \ sum_ {k = 1} ^ {\ left \ lfloor log_p (x) \ right \ rfloor} {\ left \ lfloor \ frac {x} {p ^ k} \ right \ rfloor} [/matemáticas]

¡De donde puedes restar el número de [matemáticas] p [/ matemáticas] en [matemáticas] (x-1)! [/ math] para obtener el número de [math] p [/ math] en [math] x [/ math] como;

[matemáticas] a_p (x) – a_p (x-1) [/ matemáticas]

Donde está buscando si esta diferencia es mayor que 0 en cualquier punto de su cálculo. Eso significa que si escribe un programa que encuentra la diferencia de la secuencia;
[matemáticas] {\ left \ lfloor \ frac {x} {p ^ k} \ right \ rfloor} – {\ left \ lfloor \ frac {x-1} {p ^ k} \ right \ rfloor} [/ math]

Donde [math] k [/ math] se mueve desde 1 hasta el límite de la primera suma, entonces puede poner esto en un ciclo while, incrementando [math] k [/ math] en cada iteración, y tener la condición para dejar de ser cuando lo anterior es igual a 1. Esto significa que, de hecho, es divisible por al menos 1, independientemente de si es divisible por más. Si termina sin detección de aumento, sabemos que no se dividirá equitativamente entre [math] p [/ math].

tome un número a_5a_4a_3a_2a_1a_0 que no es más que
a_5 * 10 ^ 5 + ………… + a_0 * 10 ^ 0
a_0 * 10 ^ 0 = a_0 * 1
a_1 * 10 ^ 1 = a_1 * (7 + 3)
a_2 * 10 ^ 2 = a_2 * (7 + 3) * (7 + 3) = a_2 (7 * k + 9) = a_2 (7k + 2), donde k es cualquier número entero
a_3 * 10 ^ 3 = a_3 * (7k + 2) * (7 + 3) = a_3 * (7k + 6) = a_3 * (7k-1)
a_4 * 10 ^ 4 = a_4 * (7k-1) * (7 + 3) = a_3 * (7k – 3)
a_5 * 10 ^ 5 = a_5 * (7k-3) * (7 + 3) = a_3 * (7k – 9) = a_3 * (7k – 2)
por lo tanto, efectivamente, lo que debe hacer es verificar si
a_5 * (- 2) + a_4 * (- 3) + a_3 * (- 1) + a_2 * (2) + a_1 * (3) + a_0 (1) es divisible por 7 y del séptimo dígito el orden de números que necesita para multiplicar repeticiones (es decir, 1,3,2, -1, -3, -2) y existe su regla de divisibilidad por 7

Si se pregunta cómo se le ocurrió a alguien el gráfico
también es simple tomar cualquier número, digamos 245, puede llegar a 245 comenzando con ‘0’, es decir,
0—–1 (0 + 1) ——— 2 (1 + 1) ——— 20 (2 * 10) ——– 21 (20 + 1) ——— 22 (21 + 1) ——— 23 ( 22 + 1) ——– 24 (23 + 1) ———- 240 (24 * 10) ———- 241 (240 + 1) ——— 242 (241 + 1) ——– 243 (242 + 1 ) ——— 244 (243 + 1) ——— 245 (244 + 1)

entonces, lo que estamos haciendo es comenzar desde 0 agregando 1’s hasta el primer dígito desde la izquierda que toma la flecha negra y luego estamos multiplicando por 10, es decir, tomando la flecha blanca …
y ahora si se pregunta cómo unir los nodos, simplemente únase al nodo (digamos 1) con el nodo (10 * 1)% 7, que es 3

así que ahora, si desea hacer un gráfico de divisibilidad de cualquier número, digamos 9, simplemente coloque 9 nodos (0,1,… .8) en un papel y conecte cada nodo sucesivamente con flechas negras y luego conecte 0 a (0 * 10 )% 9 = 0, 1 a (1 * 10)% 9 = 1 y así sucesivamente con las flechas blancas …

como se explicó anteriormente para verificar la divisibilidad de cualquier número, debe comenzar con 0, es decir, en su gráfico, el nodo 0 y proceder en consecuencia (es decir, tomar flechas negras y flechas blancas) y el nodo final donde se detiene es el resto del número …… …