La lógica generalmente se define como un conjunto de fórmulas en algún lenguaje y con algunas semánticas cerradas bajo modus ponens y sustitución.
Por ejemplo, [math] A \ supset (B \ supset A) [/ math] y [math] (A \ supset (B \ supset C)) \ supset ((A \ supset B) \ supset (A \ supset C )) [/ math] define un fragmento implicativo de la lógica proposicional clásica (y en realidad intuicionista).
Una lógica de primer orden es simplemente una lógica en un lenguaje de primer orden.
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Por otro lado, una vez que agreguemos la regla [math] \ dfrac {A \ quad A \ supset B} {B} [/ math] y las usemos como esquemas de axioma, estas dos fórmulas definen un fragmento implicativo del cálculo proposicional clásico, constituyendo así Un sistema formal. Entonces, un cálculo y un sistema formal es lo mismo.
¿Qué es, entonces, un cálculo? Es simplemente una tupla del siguiente tipo: [math] \ langle \ mathcal {L}, \ mathbf {Axe}, \ mathcal {R} \ rangle [/ math] con [math] \ mathcal {L} [/ math ] siendo un lenguaje, [math] \ mathbf {Ax} [/ math] – conjunto de axiomas y [math] \ mathcal {R} [/ math] – conjunto de reglas sobre el idioma.
Esta definición implica que toda teoría formalizada (como ZFC) construida sobre lenguaje de primer orden con igualdad – = – signo es un sistema formal (o un cálculo).
