Cuando tiene un conjunto de m cosas y necesita elegir n objetos, la cantidad de formas de hacerlo (N) es:
[matemática] N = \ left (\ begin {array} {c} m \\ n \ end {array} \ right) [/ math]
Veamos cuántos equipos diferentes podemos formar si decimos que no elegimos más de un jugador de un equipo. Esto significa que necesitamos elegir 15 equipos diferentes de 20, y luego de cada uno de esos equipos tenemos que elegir un jugador de 15. Si escribo esto usando las matemáticas tengo:
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[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c} 20 \\ 15 \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 1 \ end {array} \ right )[/matemáticas]
He calculado formas de formar un equipo si solo un jugador puede ser del mismo equipo. Ahora, déjenme decir que 2 jugadores serán del mismo equipo, y todos los demás serán de diferentes equipos. Tengo que elegir un equipo que me dará 2 jugadores, elegir 2 jugadores de los 15 que hay, y luego de los 19 equipos que quedan tengo que elegir 13 equipos que me darán un jugador. Esto es:
[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c} 20 \\ 1 \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 2 \ end {array} \ right ) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 19 \\ 13 \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 1 \ end {array} \ right )[/matemáticas]
Los dos conjuntos son disyuntivos. Ahora solo tengo que agregarlos y no es necesario restar nada ya que nada se ha calculado dos veces.
Ahora, digamos que elegiré 2 jugadores de algún equipo, luego 2 más de otro equipo y de los equipos que quedan, elegiré solo un jugador de un equipo. Necesito dos equipos que me den 2 jugadores. De cada uno de esos dos equipos necesito elegir 2 jugadores. De los 18 equipos restantes tendré que elegir 11 y cada uno de ellos me dará un jugador. Entonces, la cantidad de formas de hacerlo es:
[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c} 20 \\ 2 \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 2 \ end {array} \ right ) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 2 \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 18 \\ 11 \ end {array} \ right ) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 1 \ end {array} \ right) [/ math]
Ahora se puede ver el patrón. Sea m el número de equipos que me darán dos jugadores. De los m equipos necesito elegir 2 jugadores, y para un equipo que sea 15 sobre 2. Ahora el número restante de equipos me dará un jugador. El número de esos equipos es de 20 m. Como m equipos dieron 2 jugadores, ya he elegido 2 ^ m jugadores, así que de los equipos de 20 m necesito obtener 15-2 ^ m jugadores. Como elijo solo un jugador de un equipo, necesito elegir 15-2 ^ m equipos de 20 m y luego 1 jugador de 15 que hay. Entonces la fórmula es:
[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c} 20 \\ m \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 2 \ end {array} \ right ) ^ {m} \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 20-m \\ 15-2 ^ {m} \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c } 15 \\ 1 \ end {array} \ right) [/ math]
Tenga en cuenta que para m = 0 esto no es válido, por lo que diremos que m va desde 1. Mientras 15-2 ^ m sea mayor que cero o cero, podemos seguir aumentando m. Esto significa que m puede ser 1, 2, 3.
Ahora necesito agregar la suma de todos estos casos (m = 1, 2, 3) al primero.
Cada uno de estos dos conjuntos es disyuntivo, así que es genial, no tengo que pensar en nada que se repita.
Ahora veamos qué sucede cuando necesitamos elegir 3 jugadores. Digamos que m es el número de equipos que me darán 3 jugadores. Entonces, 20 sobre m para ver qué equipos harán eso, luego de cada equipo necesito 3 jugadores, es decir, 15 sobre 3 para la m-ésima potencia. Ahora de los equipos de 20 m necesito 15-3 ^ m de equipos y de cada uno de ellos necesito 1 persona. Esto da la fórmula:
[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c} 20 \\ m \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 3 \ end {array} \ right ) ^ {m} \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 20-m \\ 15-3 ^ {m} \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c } 15 \\ 1 \ end {array} \ right) [/ math]
Al igual que en el caso anterior, 3 ^ m debería ser menor o igual a 15. Esto significa que m puede ser 1 o 2. Nuevamente, solo necesito agregar esto a los casos anteriores ya que no estoy repitiendo nada.
Si hay m equipos que dan 3 jugadores yn equipos que dan 2 jugadores, entonces la cantidad de formas de combinarlos es:
\ left (\ begin {array} {c} 20 \\ m \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 3 \ end {array} \ right) ^ { m} \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 20-m \\ n \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 2 \ end {array } \ right) ^ {n} \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 20-mn \\ 15-3 ^ {m} -2 ^ {n} \ end {array} \ right) \ cdot \ izquierda (\ begin {array} {c} 15 \\ 1 \ end {array} \ right)
Tenemos 3 ^ m jugadores de m equipos, 2 ^ n jugadores de n equipos y otros jugadores son seleccionados del resto respetando que un jugador proviene de un equipo.
Si ponemos que m o n es igual a cero, obtenemos las fórmulas que se derivaron anteriormente. Podemos decir que myn van desde cero y no agregar dos casos anteriores ya que serán parte de este conjunto, o podemos decir que myn deben ser al menos 1 y luego agregar esas combinaciones a la que Nosotros ya tenemos.
Diré que myn pueden ser cero ya que eso daría una solución más elegante y cubriría todos los casos mencionados anteriormente.
La solución final será la suma de esta expresión donde myn pueden tener todos los valores posibles para los cuales 15-2 ^ m-3 ^ m será más o igual a cero.
[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c} 20 \\ m \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 3 \ end {array} \ right ) ^ {m} \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 20-m \\ n \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 2 \ end {array} \ right) ^ {n} \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 20-mn \\ 15-3 ^ {m} -2 ^ {n} \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} 15 \\ 1 \ end {array} \ right) [/ math]
Si myn son ambos cero, entonces ese es el caso en el que elegimos solo un jugador de un equipo, y si lo sustituyes obtendrás la primera fórmula.
Si dejamos que m sea igual a cero, entonces n puede ser 1,2,3, entonces ese es el caso en el que no elegimos 3 jugadores del mismo equipo. Y lo contrario, si n = 0, entonces ese es el caso en el que elegimos 2 jugadores del mismo equipo pero ningún equipo da 3 jugadores, y eso también da la fórmula de lo anterior, m puede ser 1, 2 entonces.
Para concluir, necesitamos sumar esto para estas combinaciones de myn:
m = 0, n = 0,1,2,3
m = 1, n = 0, 1,2,3
m = 2, n = 0,1,2
