Let \ begin {ecation} S_n [P (x)] = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom nk (-1) ^ kP (k) \ end {ecuación}
Probemos que para [matemáticas] m <n [/ matemáticas], [matemáticas] S_n [x ^ m] = 0 [/ matemáticas]. De ello, se deduce que [matemáticas] S_n [P (x)] = 0 [/ matemáticas] si el grado de [matemáticas] P [/ matemáticas] es menor que [matemáticas] n [/ matemáticas].
Para [matemática] n> 0 [/ matemática] y [matemática] m = 0 [/ matemática], tenemos que \ begin {ecation} S_n [1] = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom nk ( -1) ^ k = (1-1) ^ n = 0. \; \ Blacksquare \ end {ecuación}
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Supongamos (hipótesis de inducción fuerte) que para [matemática] 0 <m <n [/ matemática] y [matemática] 0 \ le l <m [/ matemática], entonces [matemática] S_ {n-1} [x ^ l] = 0 [/ matemáticas].
Entonces: \ begin {align}
S_n [x ^ m] & = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom nk (-1) ^ kk ^ m
\\ & = \ sum_ {k = 0} ^ n \ frac {n!} {(nk)! k!} (- 1) ^ kk \ cdot k ^ {m-1} & (1)
\\ & = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {n! \ cdot k} {(nk)! (k-1)! k} (- 1) ^ kk ^ {m-1} & (2 )
\\ & = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {n \ cdot (n-1)!} {(nk)! (k-1)!} (- 1) ^ kk ^ {m-1} Y (3)
\\ & = – n \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {(n-1)!} {(nk)! (k-1)!} (- 1) ^ {k-1} k ^ { m-1} y (4)
\\ & = – n \ sum_ {k = 1} ^ n \ binom {n-1} {k-1} (- 1) ^ {k-1} k ^ {m-1} & (5)
\\ & = – n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ binom {n-1} {k} (- 1) ^ k (1 + k) ^ {m-1} & (6)
\\ & = – n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ binom {n-1} {k} (- 1) ^ k \ sum_ {l = 0} ^ {m-1} \ binom {m-1} {l} k ^ l & (7)
\\ & = – n \ sum_ {l = 0} ^ {m-1} \ binom {m-1} {l} \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ binom {n-1} { k} (- 1) ^ kk ^ l & (8)
\\ & = – n \ sum_ {l = 0} ^ {m-1} \ binom {m-1} {l} S_ {n-1} [x ^ l] & (9)
\\ & = – n \ sum_ {l = 0} ^ {m-1} \ binom {m-1} {l} 0 & (10)
\\ & = – n \ times0
\\ & = 0 && \ blacksquare
\ end {alinear}
Pasos:
[matemáticas] (1) [/ matemáticas]: Expresando combinatoria en notación factorial. Como [math] m> 0 [/ math], [math] k ^ {m-1} [/ math] es un entero.
[matemáticas] (2) [/ matemáticas]: Incluyendo [matemáticas] k [/ matemáticas] en la fracción combinatoria. El primer término es [matemática] 0 [/ matemática] y, por lo tanto, puede descartarse.
[matemática] (3) [/ matemática]: Recomposición de la fracción combinatoria
[matemática] (4) [/ matemática]: Tomar una constante [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] fuera de la suma
[matemáticas] (5) [/ matemáticas]: reescribiendo la fracción factorial como combinatoria.
[matemática] (6) [/ matemática]: Cambio variable [matemática] k = k-1 [/ matemática].
[matemáticas] (7) [/ matemáticas]: reescribiendo [matemáticas] (1 + k) ^ {m-1} [/ matemáticas] en la expansión binom.
[matemáticas] (8) [/ matemáticas]: Cambiar el orden de las sumas.
[matemática] (9) [/ matemática]: suma a la derecha equivalente a [matemática] S_ {n-1} [x ^ l] [/ matemática].
[matemáticas] (10) [/ matemáticas]: Uso de hipótesis de inducción.
