Todos los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita H sobre el campo complejo, incluido H = L ^ 2 (R), son esencialmente los mismos. Entre y dos de tales espacios X e Y, siempre hay funciones biyectivas lineales T: X → Y que preservan la estructura geométrica en el sentido de que = para todos los x e y (es decir, los productos internos son Preservado). En particular, esto implica que se preservan las normas: || x || = || Tx || para todo x.
Entonces, una forma de visualizar dicho espacio es como una colección de secuencias (a_1, a_2, …) de números complejos con | a_1 | ^ 2 + | a_2 | ^ 2 + … finito. Dada una base ortonormal {v_1, v_2, …} para la H, un isomorfismo entre H y el espacio de Hilbert de tales secuencias es el mapa de Bessel dado por Tx = {, , …}. El hecho de que este mapa conserve productos y normas internas se conoce como el teorema de Parseval.
Hablando en términos generales, entonces, una forma de ver L ^ 2 (R) es que consiste en “vectores” infinitamente largos (a_1, a_2, …) de números complejos cuyos cuadrados absolutos son sumables.
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