¿Cuál es el significado de los polinomios de Legendre? ¿Cuáles son algunas de sus aplicaciones más comunes?

Bueno, la mejor manera de encontrar una respuesta es averiguar por qué los matemáticos y los físicos incluso se molestaron en nombrarlos. ¿Por qué Legendre necesitaba estos polinomios?

Puede encontrar la respuesta en el artículo de Wikipedia: polinomios de Legendre

Esencialmente, aparecen en los coeficientes de la expansión en serie del potencial newtoniano:

[matemática] \ frac {1} {\ | \ boldsymbol {r_1} – [/ matemática] [matemática] \ boldsymbol {r_2} \ |} = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {\ | \ boldsymbol {r_2} \ | ^ k} {\ | \ boldsymbol {r_1} \ | ^ {k + 1}} P_k (\ cos (\ alpha)) [/ math]

Donde [math] \ alpha [/ math] es el ángulo entre [math] \ boldsymbol {r_1} [/ math] y [math] boldsymbol {r_2} [/ math] y [math] P_k [/ math] es el kth Leyenda polinomial.

También aparecen en otras series de expansión de soluciones de ecuaciones expresadas en coordenadas polares como la ecuación de Laplace o de Schrödinger.

Estas expansiones de series nos permiten hacer buenas aproximaciones numéricas de las funciones subyacentes.

La respuesta corta es no, no puede aumentar la precisión manipulando la ubicación de los puntos de cuadratura.

La precisión del cálculo de un elemento finito depende de cuán pequeñas son las celdas de malla y del orden de los polinomios interpoladores. Una vez que la malla y el orden polinómico están fijos, la matriz de rigidez se define de manera única. El trabajo de la rutina de ensamblaje es calcularlo, generalmente usando cuadratura. Mientras la cuadratura sea lo suficientemente precisa, obtendrá exactamente la misma matriz de rigidez, sea cual sea la fórmula de cuadratura que utilice.

Sin embargo, se ha trabajado en estrategias de posprocesamiento para aumentar la precisión de, por ejemplo, las evaluaciones de estrés. Es decir, en lugar de simplemente leer los valores de puntos de los valores de tensión de la solución final, puede ser mejor formar varios promedios ponderados de la solución en regiones más grandes. Este procedimiento puede aumentar la precisión para que las evaluaciones de tensión sean del mismo orden de precisión que la tensión. Google Babuska, Miller, “El enfoque de procesamiento posterior en el método de elementos finitos” si tiene curiosidad.

Ayuda con la integración numérica.
La integración numérica es útil para la computadora porque una computadora realmente no puede integrar una función. Solo puede evaluarlo en algunos puntos.
La integración de Gauss consiste básicamente en cambiar la integral de una función en una suma de pocos valores de la función, pero esos pocos valores deben elegirse bien. Resulta que si tomas esos valores como las raíces de los polinomios de Legendre, tienes algo que funciona bastante bien.
No sé cuánto se usa en el software moderno para realizar integrales (¿tal vez alguien en quora podría ayudar con esto?), Pero si necesita una forma simple y rápida de hacer una integración numérica, esta es seguramente una buena manera.

Debido a la naturaleza ortogonal de los polinomios de Legendre, son una base conveniente para ciertos cálculos matemáticos. Por ejemplo, en el método discontinuo de Galerkin (un tipo de método de elementos finitos), a menudo se usan como base, ya que simplifican la teoría y el cálculo de las integrales. Por ejemplo, cuando asigna algunas de las integrales definidas al intervalo [-1,1] y utiliza una cuadratura gaussiana para la integración numérica, parte del cálculo puede reducirse a fórmulas muy simples. El método de elementos finitos se utiliza en muchas aplicaciones de ingeniería de la vida real.

Los polinomios de Legendre aparecen en armónicos esféricos, que son una función propia del operador de Laplace sobre la esfera. Esta descomposición se usa realmente en modelos espectrales meteorológicos, por ejemplo, el Sistema de pronóstico global y el Sistema de pronóstico integrado.

Los polinomios de Legendre son las funciones propias latitudinales naturales en una esfera. Por lo tanto, puede descomponer una función en coordenadas ortogonales tal como lo haría con una serie de Fourier. También puede calcular una serie de problemas relacionados con términos polinomiales utilizando los coeficientes de Clebsch-Gordan.

Mientras lucho por encontrar aplicaciones, que no sean artísticas o estadísticas para matemáticas avanzadas, los trinomios son fáciles. Tienes una receta para un pastel de 6X6 pulgadas, pero tu sartén de 6X6 pulgadas se arruinó. Todo lo que tienes es una sartén de 9X12. ¿Cuánto aumentas tu receta para cubrir la sartén? Sustituye x por 6 en X ^ 2 + 9x + 18.

Además, aunque no tengo solicitudes diarias para matemáticas avanzadas, mi esposo, que es estadístico y modelador matemático, tiene muchas.

En general, si está tratando de descubrir cómo cambiar sus dimensiones afectaría el área de una forma bidimensional que puede encontrar polinomios que contienen cuadrados, si está tratando con volúmenes, puede encontrar polinomios que contienen cubos.

Esencialmente, cada vez que desee calcular de manera realista una función determinada, utiliza un polinomio de Taylor (consulte el teorema de Taylor) o alguna aproximación más avanzada que utiliza polinomios o funciones racionales (proporciones de funciones polinómicas).

Los polinomios son geniales porque son fáciles de calcular y con suficientes potencias y los coeficientes correctos, puede hacer que se aproximen a casi cualquier cosa al nivel deseado de precisión.

Bueno, ciertamente los polinomios tienen una aplicación poderosa en el modelado estadístico no lineal. Cuando uno encuentra que el comportamiento de ciertas variables explicativas y una variable de respuesta se explican por una parábola.

Una aplicación interesante, bastante práctica y divertida es quizás usar un polinomio de grado 2 o 3 para calcular el volumen y la superficie de un tazón. Si puede encontrar una función que se ajuste mejor al contorno de la base, tiene un buen comienzo. Encontrará que esa función será un polinomio.

¡¡Buena pregunta!!