Si descubrí lo que querías decir, entonces en la Selección 3, eliges un número natural <1000 (000 ~ 999, por lo que eliges 3 dígitos, por lo tanto llamado Selección 3), entonces dibujan un número natural <1000, y si es el igual que elegiste, obtienes 500 veces tu apuesta. (Entonces, en promedio, la compañía de lotería retiene la mitad del dinero de las apuestas y paga la otra mitad en ganancias; supongo que esto no necesita explicación, dígame si lo hace).
Para alcanzar el punto de equilibrio en la Selección 3, debes jugar un múltiplo de 500 veces, ya que después de jugar 500 veces, pagaste (en tu caso) $ 5000, y si ganas exactamente una vez, obtienes $ 5000. (Supongo que hay 1 apuesta y 1 empate cada semana y usted apuesta $ 10).
Juguemos 500 veces. Cada vez, su probabilidad de ganar es 1/1000, la probabilidad de perder es 999/1000, y desea ganar una vez y perder 499 veces. Tomemos los números sorteados como fijos (tenga en cuenta que eso es solo un paso estándar en el cálculo, no una suposición descabellada). El número total de formas en que puedes jugar es 1000 ^ 500 (1000 números posibles para elegir, 500 veces), ese es el denominador. El número de formas en que puede jugar para alcanzar el punto de equilibrio es 500 (elegir qué momento ganar) * 1 (elegir el número ganador) * 999 ^ 499 (elegir un número perdedor para cada una de las 499 veces restantes). Por lo tanto, la posibilidad de alcanzar el punto de equilibrio después de 500 semanas es (500 * 999 ^ 499) / (1000 ^ 500), que, como nos dice http://www.wolframalpha.com/inpu…, es aproximadamente del 30%. Por cierto, la posibilidad de no ganar nada después de 500 semanas es de aproximadamente el 60%. Existe una probabilidad remanente de alrededor del 9% de ganar más de lo que pagó después de 500 semanas. (El 1% se perdió debido al redondeo, en realidad las posibilidades son como 30.35%, 60.65% y 9%).
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Si jugaste durante 1000 semanas, es decir, gastaste $ 10000, la posibilidad de alcanzar el punto de equilibrio, es decir, ganar exactamente dos veces, es (1000 * 999/2 * 999 ^ 998) / (1000 ^ 1000), que es aproximadamente el 18%. (Ahora hay 1000 * 999/2 formas de elegir las rondas en las que ganas; este es el número de combinación C (1000,2), es decir, la cantidad de formas posibles de elegir 2 entre 1000). La posibilidad de perder cada vez se reduce a aproximadamente el 37%, la probabilidad de ganar la mitad de la vuelta, es decir, ganar una vez, también es de aproximadamente el 37%, la probabilidad de ganar más de lo que apuesta ahora es de aproximadamente el 8%.
Después de jugar durante N * 500 semanas (por lo que su x = 500 * N), su probabilidad de alcanzar el punto de equilibrio es igual a C (500 * N, N) * 999 ^ (499 * N) / 1000 ^ (500 * N).
Entonces, por alguna razón, desea resolver la siguiente ecuación:
C (500 * N, N) * 999 ^ (499 * N) / 1000 ^ (500 * N) = 1/175711536
Lo más probable es que no tenga una solución ya que estamos tratando con números naturales aquí, pero debería ser posible encontrar un punto donde el lado izquierdo sea mayor que 1/175711536 para N pero menor para N + 1 (si el límite en infinito es 0, lo que creo que es). No conozco una forma de resolver eso de manera eficiente que no sea probar de forma iterativa diferentes valores de N. Pero aquí estamos tratando con números muy grandes, y no puedo lograr que Wolfram Alpha me dé el valor de N mucho mayor que 10 (C ( 500 * N, N) * 999 ^ (499 * N) / 1000 ^ (500 * N); N = 10), para el cual el valor sigue siendo mucho mayor que 1/175711536. Sin embargo, cae más y más lentamente, por lo que dicho N será muy, muy grande. Probablemente puede ser aroud 10000000000000 (esto es solo una suposición completamente descabellada, puede ser mucho más grande, puede ser más pequeño, no lo sé). De todos modos, tomaría un número poco práctico de tiempo para que la probabilidad de alcanzar el punto de equilibrio llegara a un número tan bajo, lo más probable es que los humanos no estén vivos para entonces.
No estoy seguro de por qué hiciste esa pregunta, y creo que tal vez quisiste hacer algo diferente, pero bueno, aquí está la respuesta. (Pero el resultado de que la posibilidad de alcanzar el punto de equilibrio después de 500 semanas es bastante alta fue sorprendente para mí, así que al menos ese es un resultado práctico. Por supuesto, en realidad deberías dejar de jugar una vez que ganas, no esperar hasta que sean 500 semanas, así que existe una posibilidad decente de obtener ganancias, aunque la posibilidad de no obtener ganancias es mayor).
