¿Por qué se inventaron los números complejos? ¿Fueron inventados para explicar un fenómeno físico o realmente “existen”?

Si comienza a trabajar con ciertos conceptos sobre los números reales, notará varias dicotomías bastante extrañas. Por ejemplo, puede diagonalizar algunas matrices, pero lo mejor que puede hacer en general es colocarlas en bloques de 2 × 2 a lo largo de la diagonal [1]. Un polinomio de grado n puede tener como máximo n raíces reales, pero podría no tener ninguna. Sin embargo, si n es impar, debe haber al menos una raíz, pase lo que pase.

Si sigues haciendo matemáticas, seguirás tropezando con estas situaciones. Al pasar de los números reales a su cierre algebraico, los números complejos, aclara lo que está sucediendo en cada una de estas situaciones. Sin ellos, sería difícil saber que no había otras posibilidades en las situaciones anteriores que simplemente no habíamos encontrado todavía.

Además, dado que reemplazan todas estas declaraciones de “tal vez esto, tal vez eso” por ” definitivamente esto”, hacen que sea mucho más fácil hacer cálculos matemáticos. Si está resolviendo ecuaciones diferenciales, aprende que las funciones exponenciales y las funciones trigonométricas son dos perspectivas sobre el mismo fenómeno más grande, que no es algo que posiblemente podría entender si trabajara sobre los reales: vería la teoría de las EDO lineales como un revoltijo horrible de casos especiales más que como una teoría simple y coherente que podría aplicarse a otras cosas.

Uno de los problemas para responder una pregunta como esta es que es equivalente a algo así como “¿Por qué necesitamos la letra r?” Si te esfuerzas lo suficiente, probablemente puedas comunicar cualquier cosa que necesites sin usar ninguna letra en particular, pero tomaría mucho trabajo adicional hacerlo y probablemente te perderías el panorama general.

En cuanto a si existen, un número complejo es esencialmente lo mismo que un polinomio irreducible sobre los números reales [2]. Si acepta que existen polinomios (lo que debería hacer si no está loco) y que existen números reales (lo cual es realmente discutible), entonces debe aceptar que existen números complejos. De hecho, dado que su pregunta es si existen números imaginarios, entonces debe aceptar que existan siempre que crea que existen enteros [3], lo que de nuevo es realmente discutible [4]. Pero si crees en los números, debes creer en los números imaginarios.

[1] Supongo que estás poniendo alguna condición en las matrices aquí que les impide tener bloques de Jordan no triviales. Tener bloques de Jordan no triviales significa que no se puede diagonalizar una matriz, pero ese es un fenómeno completamente diferente. Básicamente, lo estoy omitiendo de la oración anterior porque no puedo encontrar una manera de insertarlo en esa oración sin hacerlo ilegible.

[2] Técnicamente, los polinomios irreducibles sobre los reales corresponden a (1) un número real o (2) un par conjugado de números complejos no reales.

[3] Porque entonces existen los racionales, y luego existe el cierre algebraico de los racionales, y eso tiene i.

[4] Un número minúsculo de matemáticos importantes como Doron Zeilberger cree que, dado que la experiencia humana es finita, trabajar con números arbitrariamente grandes es ridículo, y que deberíamos estar de acuerdo en que hay un “número mayor” y terminar con eso. (Es muy probable que esto sea una simplificación excesiva de su posición, por lo que me disculpo). En este caso, hablar de números enteros o racionales, o cualquier cosa infinita, es una tontería. Esto tiene la ventaja de evitar todas las consecuencias aterradoras de la lógica moderna, y también posiblemente la ventaja de ser una descripción correcta de la realidad, pero también hace que muchas matemáticas sean bastante difíciles de hacer, por lo que muchos matemáticos lo rechazan.

“ I es un número sorprendente. Es el único número imaginario. Sin embargo, cuando lo cuadras, se vuelve real. Por supuesto, no se creó instantáneamente. Le tomó varios siglos convencer a ciertos matemáticos de que aceptaran este nuevo número”.

Eventualmente, sin embargo, se creó una sección de números llamada “imaginaria” (que también incluye números complejos, que son números que tienen una parte real e imaginaria), y la gente ahora usaba i en matemáticas cotidianas.

Fui creado debido al hecho de que la gente simplemente lo necesitaba. Al principio, se pensaba que era imposible resolver problemas como “√-39” y “x2 + 1 = 0”. Sin embargo, los matemáticos pronto tuvieron la idea de que se podría crear un número para resolver estas ecuaciones.

Hoy, el número es √-1, más comúnmente conocido como i . Es bueno que los científicos, los matemáticos que no querían que se crearan nuevos números y otros no creyentes finalmente permitieron i (y números complejos) en el sistema de numeración. Hoy, soy muy útil para el mundo.

Los ingenieros lo usan para estudiar las tensiones en las vigas y para estudiar la resonancia. Los números complejos nos ayudan a estudiar el flujo de fluido alrededor de los objetos, como el agua alrededor de una tubería. Se utilizan en circuitos eléctricos y ayudan a transmitir ondas de radio. Por lo tanto, si no fuera por mí , ¡no podríamos hablar por teléfono celular o escuchar la radio! Los números imaginarios también ayudan a estudiar series infinitas.
  Por último, cada ecuación polinómica tiene una solución si se usan números complejos. Claramente, es bueno que haya sido creado.

La primera mención de personas que intentan usar números imaginarios se remonta al siglo primero. En el año 50 d. C., Heron de Alejandría estudió el volumen de una sección imposible de una pirámide. Lo que lo hizo imposible fue cuando tuvo que tomar √81-114. Sin embargo, consideró esto imposible, y pronto se dio por vencido. Durante mucho tiempo, nadie trató de manipular números imaginarios. Aunque, no fue por falta de intentos.

Una vez que se “inventaron” los números negativos, los matemáticos intentaron encontrar un número que, al cuadrado, pudiera ser igual a uno negativo. Al no encontrar una respuesta, se dieron por vencidos. En los años 1500, se trajeron algunas especulaciones sobre raíces cuadradas de números negativos. Se descubrieron fórmulas para resolver ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado, y las personas se dieron cuenta de que ocasionalmente se requeriría algo de trabajo con raíces cuadradas de números negativos. Naturalmente, no querían trabajar con eso, por lo que generalmente no lo hicieron. Finalmente, en 1545, se produjo el primer trabajo importante con números imaginarios.

en 1545, Girolamo Cardano escribió un libro titulado Ars Magna. Resolvió la ecuación x (10-x) = 40, encontrando que la respuesta es 5 más o menos√-15. Aunque descubrió que esta era la respuesta, no le gustaban mucho los números imaginarios. Dijo que trabajar con ellos sería “tan sutil como inútil”, y se refirió a trabajar con ellos como “tortura mental”. Durante un tiempo, la mayoría de la gente estuvo de acuerdo con él. Más tarde, en 1637, a Rene Descartes se le ocurrió la forma estándar para números complejos, que es a + b i . Sin embargo, tampoco le gustaban los números complejos. Asumió que si estaban involucrados, no podría resolver el problema. Por último, se le ocurrió el término “imaginario”, aunque quiso decir que era negativo. Issac Newton estuvo de acuerdo con Descartes, y Albert Girad incluso llegó a llamar a esto, “soluciones imposibles”. Aunque a estas personas no les gustaba pensar en números imaginarios, no podían evitar que otros matemáticos creyeran que yo podría existir.

Rafael Bombelli creía firmemente en los números complejos. Ayudó a presentarlos, pero como realmente no sabía qué hacer con ellos, en su mayoría no se le creía. Él entendió que i veces debería ser igual a -1, y que – i veces debería ser igual a uno. La mayoría de la gente tampoco creía este hecho. Por último, tenía lo que la gente llamaba una “idea descabellada”: la idea de que podría usar números imaginarios para obtener las respuestas reales. Hoy, esto se conoce como conjugación. Aunque Bombelli mismo no tuvo un gran impacto en ese momento, ayudó a liderar el camino hacia los números imaginarios.

Durante décadas, muchas personas creyeron que existían números complejos y se propusieron hacerlos entender y aceptar. Una de las formas en que querían hacerlos aceptados era poder trazarlos en un gráfico. En este caso, el eje X sería números reales, y el eje Y serían números imaginarios. Si el número fuera puramente imaginario (como 2 i ), solo estaría en el eje Y. Si el número fuera puramente real, solo estaría en el eje X. La primera persona que consideró este tipo de gráfico fue John Wallis. En 1685, dijo que un número complejo era solo un punto en un avión, pero fue ignorado. Más de un siglo después, Caspar Wessel publicó un artículo que muestra cómo representar números complejos en un avión, pero también fue ignorado. En 1777, Euler hizo el símbolo que represento √-1, lo que lo hizo un poco más fácil de entender. En 1804, Abbe Buee pensó en la idea de John Wallis sobre graficar números imaginarios, y estuvo de acuerdo con él. En 1806, Jean Robert Argand escribió cómo trazarlos en un avión, y hoy el avión se llama diagrama de Argand. En 1831, Carl Friedrich Gauss hizo popular la idea de Argand y la presentó a muchas personas. Además, Gauss tomó la notación a + b i de Descartes y llamó a esto un número complejo. Se requirió que todas estas personas trabajaran juntas para lograr que el mundo, en su mayor parte, aceptara números complejos.

Los matemáticos siguieron trabajando para asegurarse de que se entendieran los números imaginarios y complejos. En 1833, William Rowan Hamilton expresó números complejos como pares de números reales (por ejemplo, 4 + 3 se expresa como (4,3)), lo que los hace menos confusos e incluso más creíbles. Después de esto, muchas personas, como Karl Weierstrass, Hermann Schwarz, Richard Dedekind, Otto Holder, Henri Poincare, Eduard Study y Sir Frank Macfarlane Burnet, estudiaron la teoría general de los números complejos. Augustin Louis Cauchy y Niels Henrik Able hicieron una teoría general sobre los números complejos aceptados. August Mobius tomó muchas notas sobre cómo aplicar números complejos en geometría. Todos estos matemáticos ayudaron al mundo a comprender mejor los números complejos y cómo son útiles.

Claramente, los números complejos son asombrosos. Tienen muchos usos, más de lo que nos damos cuenta. Tienen una historia fascinante, llena de algunos matemáticos que no creen en ellos y otros que intentan desesperadamente demostrar su existencia. También es fascinante, siendo el único número imaginario. Muchos matemáticos reunieron tantas pruebas como pudieron de que deberían existir números imaginarios, y hoy debemos agradecerles que podemos usar i cuando queramos, sin que se nos pregunte al respecto “.

Fuente: Historia de números complejos (también conocida como Historia de números imaginarios o Historia de i)

Suponga que solo acepta la existencia de números naturales como 0, 1, 2, 3, etc. Ahora no puede llegar muy lejos a menos que defina cómo combinarlos en varias operaciones. Por lo tanto, define cuatro operaciones binarias en ellas, a saber, suma, resta, multiplicación y división.

Observará que la colección de números naturales no está cerrada bajo estas operaciones, es decir, para algunos números naturales, estas operaciones pueden no dar como resultado números que se incluyen en la colección de números naturales. Por ejemplo, 2 con 3 se cerrará con la suma y la multiplicación, pero no con la resta y la división.

Por lo tanto, está obligado a definir números negativos y fracciones para que sus operaciones binarias permanezcan consistentes siempre. Entonces obtienes lo que llamas Racionales que incluyen enteros y fracciones.

Ahora, cuando uno intenta resolver una ecuación algebraica como [math] x * x-2 = 0 [/ math] nuevamente vemos que la colección de números que hemos definido hasta ahora no es suficiente. Tenemos que extender el sistema numérico aún más. Entonces definimos una nueva clase de números llamados irracionales para que esta colección extendida de números (Reals) se cierre bajo cualquier operación algebraica.

Pero pronto observamos que incluso este sistema extendido de números todavía no es suficiente para todo tipo de operaciones algebraicas. Por ejemplo, si desea resolver la ecuación [matemática] x * x + 1 = 0 [/ matemática] nuevamente, debe extender su sistema numérico aún más. Debe definir nuevamente una nueva clase de números llamados números imaginarios. Este sistema de números aún extendido se llama números complejos.

Si cree que este proceso nunca termina y tenemos que extender el sistema de números cada vez más para mantener la coherencia, está equivocado. Existe el famoso teorema fundamental del álgebra que dice que todas las ecuaciones algebraicas, por complicadas que sean, deben tener raíces complejas. Entonces has terminado con los números. No quedan números adicionales.

Se introducen números imaginarios porque son inevitables. Son parte integral del sistema numérico. Los conceptos matemáticos son conceptos abstractos y no requieren ninguna justificación física. Pero la física moderna no se puede hacer sin números complejos. El estado de un sistema físico está representado por un vector en un espacio vectorial complejo (espacio de Hilbert). No se puede hacer teoría cuántica sin números complejos. Incluso la física clásica aprovecha mucho los números complejos, aunque no es esencial. La vida de un ingeniero eléctrico será difícil (pero no imposible) sin números complejos.

¿Existen realmente los números? ¿Tú o yo hemos visto el número veintitrés? Consideramos que existen gracias a la analogía que vemos entre las cosas en el mundo real y el mundo de los números.

Los números imaginarios y complejos se inventaron por razones puramente matemáticas, porque la gente vio algunas asimetrías feas en matemáticas con solo números reales. No todas las ecuaciones cuadráticas tenían dos raíces, por ejemplo. Una vez que ingresas números complejos, muchas cosas se volvieron mucho más ordenadas. Eso hizo a los matemáticos realmente felices.

Si eso fuera todo lo que había, la mayoría de nosotros nunca habría oído hablar de estas cosas. Resulta que los números complejos son rotaciones bidimensionales, y las cosas en la vida real que se modelan mejor como rotaciones bidimensionales tienen modelos complejos bien definidos.

Por ejemplo, las ondas sinusoidales tienden a ser cuidadosamente modeladas como números complejos debido a sus propiedades. Esto puede explicarse debido a las similitudes en la aritmética sinusoidal y la aritmética compleja. Esto significa que los ingenieros eléctricos pasan mucho tiempo aprendiendo a usar números complejos.

Aún más interesante, los números complejos pueden ser fundamentales para la mecánica cuántica. La formulación de ondas de la mecánica cuántica se basa en números complejos, pero se transforma mágicamente en números reales cuando se realiza una “medición”: se aplica un operador en la función de onda. No estoy seguro * por qué * esto es así, y ni siquiera estoy seguro de que haya una respuesta. Puede ser una coincidencia, o podría ser un indicador de una realidad subyacente (compleja) que solo podemos experimentar en un sentido limitado (real).

Una respuesta alternativa sin historia de por qué se inventaron los números imaginarios.

En un sistema de números, queremos que el sistema se cierre. Esto significa que si hacemos una operación matemática en cualquier número (s), recuperamos un número dentro del sistema numérico.

Por ejemplo, los enteros se cierran sobre la suma. 1 + -2 = -1.
(Siempre puede agregar dos enteros y obtener otro entero).
Por no están cerrados sobre la división 1/2 = 0.5, no es un número entero.

El ejemplo más famoso, por supuesto, es la raíz cuadrada del negativo 1: esto pertenece a “Números reales” que incluye cualquier número que pueda representarse como decimal (ya sea finito o infinito).

Esto presentaba la necesidad de crear números que nos permitieran hacer cálculos usando números como la raíz cuadrada de uno. Sé, por ejemplo, que esto es muy común en física y, por lo tanto, en ingeniería. Y como la necesidad es la madre de la invención, los números complejos nacieron para crear un sistema de números verdaderamente cerrado.

El ejemplo físico más importante son los campos electromagnéticos, que tienen componentes eléctricos y magnéticos que se modelan juntos como valores complejos.