En matemáticas, ¿cómo PROBAS algo?

Entonces entiendes la afirmación, crees que es verdad y quieres demostrarlo.

Bueno, ¿por qué crees que es verdad? Escribe tu razón. Esa es tu prueba. Eso es una prueba: una justificación para que algo sea verdad.

A menudo, tenemos un requisito adicional de que estamos tratando de probar algo verdadero usando solo un cierto conjunto de declaraciones ya probadas . Esto puede ser más complicado, porque sientes que X es cierto debido a Y, pero aún no has probado Y, y a veces incluso parece que Y solo es cierto debido a X, que sería circular. Cuando esto sucede, debe detenerse y pensar por qué X debe ser cierto a partir de principios fundamentales, en lugar de invocar Y.

Escribir pruebas que sean claras, que fluyan lógicamente de principio a fin y que sean lo suficientemente formales para la audiencia prevista es una habilidad que requiere práctica. Con el tiempo mejorarás; leer muchas pruebas también ayuda. Pero fundamentalmente, probar las cosas solo significa explicar por qué son ciertas.

Otra razón por la que la práctica ayuda es que la mayoría de las pruebas siguen uno de los pocos formatos estándar. Si quiere probar que A implica B, su prueba irá “suponga A [… algún razonamiento aquí …] por lo tanto B”. Si quieres probar que hay una solución, construye la solución. Si desea demostrar que cada X tiene la propiedad Y, tome una X arbitraria y demuestre la propiedad Y. Si desea demostrar que una función es continua, seleccione delta en función de epsilon y demuestre que su elección de delta funciona. En general, solo tiene un puñado de opciones como máximo para probar una declaración dada, porque solo hay un puñado de estrategias que se aplican para probar ese tipo de declaración.

Usted demuestra algo cuando muestra que la conclusión debe seguir a lo que la precedió.

Por lo general, se le da una declaración: “Si x es un número entero impar, demuestre que x no es divisible por 2”.

Entonces, está el predicado: “Si x es impar …”

Y luego está la conclusión: “x no es divisible por 2.”

(Dependiendo de la redacción del problema, es posible que deba inferir el predicado).

Esto le da un punto de partida y un punto final:

1. x es un entero impar.
   …
2. x no es divisible por 2.

Su trabajo es completar los pasos intermedios de esta ‘cadena’ de inferencias. Puedes trabajar hacia adelante o hacia atrás.

Si estoy trabajando hacia adelante, cada declaración me dice algo que debería poder ‘inferir’ de la línea actual. Si estoy trabajando hacia atrás, estoy buscando alguna declaración que pueda llevarme a la línea actual.

1. x es un entero impar.
   …
2. x no es divisible por 2.

Si trabajara hacia adelante desde el n. ° 1, podría preguntar: “¿Qué significa ser un número entero impar?” Si x es impar, entonces x = 2 * n + 1, para algunos n.

1. x es un entero impar.
2. x = 2 * n + 1, para algunos n.
   …
3. x no es divisible por 2.

Si estuviera trabajando hacia atrás, ¿qué tendría que ser cierto para poder concluir que x no es divisible por 2? Bueno, si x es divisible por 2, entonces debe ser cierto que x = 2 * p, para alguna p.

1. Dado que x es un número entero impar.
2. Pero debido a que x es impar, x = 2 * n + 1, para algún número entero n.
   …
3. x = 2 * p, para algún número entero p.
4. x no es divisible por 2.

Entonces, aquí veo que me estoy acercando a algo, porque x es igual a diferentes cosas. Si 2 * n + 1 = 2 * p, ¿qué significa esto? Hmmm Bueno, probablemente los igualare en algún momento. Y al igualarlos, algo va a ‘salir mal’, de modo que significa que uno de mis supuestos sobre el problema también está mal. Entonces, creo que usaré una contradicción para probar lo que quiero probar al final. Así que haré esta suposición explícita y reorganizaré algunas cosas para que se lea “muy bien”.

1. Dado que x es un número entero impar.
2. Suponga que x es divisible por 2.
3. Entonces, x = 2 * p, para algún número entero p.
4. Pero debido a que x es impar, x = 2 * n + 1, para algún número entero n.
5. [haga algo que muestre que la Línea # 2 está mal, lo que significa que la Línea # 6 debe ser verdadera]
6. x no es divisible por 2.

Si x = 2 * n + 1 yx = 2 * p, entonces 2 * p = 2 * n + 1.
Lo que significa que p = n +1/2.

Pero, para que x sea divisible por 2, se supuso que p es un número entero. Pero p nunca puede ser un número entero. Esto contradice la suposición de que x es divisible por 2.

Por lo tanto, x no puede ser divisible por 2.

1. Dado que x es un número entero impar.
2. Suponga que x es divisible por 2.
3. Entonces, x = 2 * p, para algún número entero p.
4. Pero debido a que x es impar, x = 2 * n + 1, para algún número entero n.
5. 2 * p = 2 * n + 1, implica que p = n + 1/2.
6. Como se suponía que p era un número entero, pero nunca puede ser un número entero, la suposición de que x es divisible por 2 es falsa.
7. Por lo tanto, x no es divisible por 2.

Este es un ejemplo ridículamente tonto, pero estoy tratando de mostrar cómo se puede construir la cadena de inferencia trabajando hacia adelante y hacia atrás, y en cada paso, examinando lo que realmente significa la declaración y lo que ese significado también implica.

Existen varias técnicas (por ejemplo, contradicción, inducción), que una vez que comience a verlas repetidamente, reconocerá algunas técnicas generales de resolución de problemas y podrá extraer de su experiencia pasada.

Solo necesitas más práctica. Si trabajas en problemas y le pides a la gente que te ayude si te quedas atascado, entonces llegarás allí. Lo primero que debe hacer al resolver un problema es escribir siempre:

¿Qué queremos mostrar? Escriba en notación matemática exacta qué es lo que quiere probar. Si el problema es un problema de palabras, escríbalo en notación matemática.

¿Qué sabemos? También escriba qué información se proporciona en el problema. Si el problema no es demasiado difícil, obtendrá la solución en uno, dos o tres pasos.