Tienes diferentes niveles de comprensión en matemáticas:
- Tienes los temas abiertos para los que no podemos decir mucho, como por ejemplo el problema del cuerpo n (aunque en realidad sí podemos, pero no tanto como nos gustaría). Por lo general, no hay esperanza de clasificar nada porque la variedad de posibilidades es demasiado alta.
- El caso completamente entendido como, por ejemplo, matrices NxN sobre los números complejos. Podemos resolver casi cualquier pregunta sobre una matriz de este tipo (ver la forma normal de Jordan); importa si hay varias matrices las cosas se vuelven más complicadas: álgebra de operador. Sin embargo, no hay clasificación de matrices, hay demasiadas. O tenemos clasificaciones no útiles que no dicen mucho.
- Por otro lado, en algunos casos podemos derivar una clasificación completa. Por ejemplo, los grupos de reflexión finita están completamente clasificados: grupo Coxeter.
Así que ahí está: clasificar los objetos posibles es el nivel más alto de comprensión que podemos lograr: tenemos una lista con la que podemos trabajar fácilmente.
En el caso de los grupos Coxeter, tenemos la divertida situación de que, en varios casos, los teoremas se prueban al observar todos los casos que ocurren en la clasificación y luego se deriva una prueba posterior, más conceptual, que está “libre de clasificación”. Muestra el poder de los teoremas de clasificación.
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Otro ejemplo de tal resultado divertido es: “cada grupo simple finito es generado por dos elementos”. ¿Prueba? Mire la Clasificación de grupos simples finitos y verifique que cada uno de ellos tenga esta propiedad.
