Cómo calcular [matemáticas] n ^ {1 / x} [/ matemáticas] usando una calculadora simple

Para valores muy grandes de N,
[matemáticas] e ^ x \ aprox \ izquierda (1+ \ frac {x} {N} \ derecha) ^ N [/ matemáticas]
(prueba provista en el enlace al pie de página)

Eso significa,
[matemáticas] n ^ {1 / x} = e ^ {\ ln (n) / x} \ aprox \ left (1+ \ frac {\ ln (n)} {xN} \ right) ^ N [/ math] —– [1]

Para simplificar aún más,

sabemos que [matemáticas] X ^ {1 / N} \ aprox 1 [/ matemáticas]

Y así, [matemáticas] \ frac {1} {X} \ aprox X ^ {1 / N-1} [/ matemáticas]

Integrando ambos lados de 1 a n, obtenemos [matemáticas] \ frac {\ ln (n)} {N} \ aprox n ^ {1 / N} -1 [/ matemáticas] —– [2]

De 1 y 2,
[matemáticas] \ enorme n ^ {1 / x} = e ^ {\ ln (n) / x} \ aprox \ left (1+ \ frac {n ^ {1 / N} -1} {x} \ right) ^ N [/ matemáticas]

Esto se puede hacer en una calculadora simple.


Suponga que desea encontrar la quinta raíz de 25. Luego, n = 25, x = 5, y deje que N sea grande, entonces 2048 o [matemáticas] 2 ^ {11} [/ matemáticas] *.

Entonces los pasos serían,

  • saca la raíz cuadrada del número, 25, once veces [como 2048 es 2 ^ 11].
  • restar 1. [matemática] \ implica \ grande 25 ^ {1/2048} – 1 [/ matemática]
  • dividir por x. [matemática] \ implica \ grande \ frac {25 ^ {1/2048} – 1} {5} [/ matemática]
  • suma 1. [matemática] \ implica \ grande 1 + \ frac {25 ^ {1/2048} – 1} {5} [/ matemática]
  • finalmente tenemos que alimentarlo hasta 2048. Fácilmente hecho cuadrando 11 veces.

Entonces, el resultado final sería [matemática] \ grande \ izquierda (1+ \ frac {25 ^ {1/2048} -1} {5} \ derecha) ^ {2048} [/ matemática] que se aproxima a [matemática] 25 ^ {1/5} [/ matemáticas]


Un video de ejemplo:


* Siempre se prefiere una potencia alta de dos [matemática] 2 ^ m, donde \, m> 10 [/ matemática], porque la función cuadrada está disponible en una calculadora simple. Sin embargo, si hay una tercera potencia disponible, puede usar [matemática] N = 3 ^ m, donde \, m> 7 [/ matemática]. Cuanto mayor sea el valor, mayor será la precisión.

El video asume un valor diferente de N, pero el procedimiento es el mismo. Las conclusiones de por qué esto funciona fue tomado de aquí.