Depende mucho del grupo.
Existe un teorema general sobre las propiedades de los grupos finamente presentados debido a Adyan y Rabin (probado en la década de 1950) que dice que dada cualquier propiedad P, si
- existe un grupo finitamente presentado [matemática] G ^ + [/ matemática] con la propiedad P, y
- hay un grupo [matemática] G ^ – [/ matemática] tal que cualquier otro grupo [matemática] G [/ matemática] que contenga [matemática] G ^ – [/ matemática] no satisface la propiedad P,
entonces no existe un algoritmo que tome un grupo presentado de forma finita y devuelva VERDADERO si el grupo satisface la propiedad P, y FALSO de lo contrario.
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Las propiedades que satisfacen estas dos condiciones se denominan Markov, y casi cualquier propiedad que pueda interesarle sobre grupos presentados de forma finita es Markov. Algunos ejemplos de propiedades de Markov:
- “¿Es [matemática] G [/ matemática] abeliana?”
- “¿Es [matemática] G [/ matemática] finita?”
- “¿Es [matemática] G [/ matemática] cíclica?”
Como resultado, si la única información que tiene sobre su grupo son sus generadores y las relaciones entre esos generadores, básicamente está manguera. Sin embargo , si sabes un poco más sobre tu grupo, entonces la situación no es tan desesperada.
Los resultados más sólidos a lo largo de estas líneas que conozco (aunque estoy seguro de que hay resultados más fuertes que un teórico de grupos conocería) es que muchos de estos problemas son realmente decidibles para los grupos policíclicos (Propiedades decidibles de los grupos policíclicos).
Hay, por supuesto, resultados más débiles que podría usar. Si su grupo resulta ser finito y puede escribir su tabla de multiplicar, por ejemplo, puede verificar directamente si es cíclico o no.
