Voy a defender la definición de Heine-Borel, en términos de subcubiertas finitas, sin suponer que el espacio es Hausdorff, ya que la compacidad es un concepto mucho más aplicable.
Una de las principales preocupaciones en muchas áreas de las matemáticas es la de las secuencias, en particular la cuestión de si convergen o no. Los espacios compactos forman una clase muy agradable de espacios exactamente en este sentido, ya que dada cualquier secuencia en un primer espacio contable (es decir, espacios métricos), si el espacio es compacto, entonces la secuencia tiene al menos un punto alrededor del cual la secuencia se agrupa, Puede que no converja a ese punto, pero hay infinitos puntos de la secuencia arbitrariamente cerca de él.
Ahora note que necesitaba especificar que el espacio debe ser contable primero, esto no es un problema con espacios, sino con la definición precisa de una secuencia como una función de los números naturales. Para ilustrar este punto, tome el espacio ordenado [0, w], donde w es el ordinal menos incontable. Entonces, la secuencia que asigna cada número natural a sí mismo no tiene subsecuencia convergente, sin embargo, el espacio es compacto. (Siéntase libre de verificar esto)
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Hay otras nociones más generales, de las cuales las secuencias son ejemplos particulares, un ejemplo es el concepto de una red, otra noción equivalente (en cierto sentido), que prefiero, después de haber trabajado con la teoría del orden, es la de los filtros. La parte importante es que los filtros generalizan secuencias, de modo que las funciones continuas preservan la convergencia en espacios arbitrarios. Los filtros se pueden extender (no únicamente en general) a algo llamado ultrafiltros, que en este contexto funciona un poco como lo hace una subsecuencia en el caso métrico, en términos de convergencia.
Ahora, por diversión: cualquier espacio topológico es compacto si y solo si algún ultrafiltro de puntos en ese espacio converge (al menos a un punto).
Entonces, si su espacio no es compacto, siempre puede construir un ultrafiltro que no converja, lo cual es inconveniente.
