Mi forma preferida de visualizar el teorema binomial es como medio para generar cadenas. Hacemos esto usando la concatenación en lugar de la multiplicación. La principal diferencia es que la concatenación retiene el orden de los símbolos.
por ejemplo, [math] ab [/ math] es diferente de [math] ba [/ math].
Además, entendemos que [math] + [/ math] s simplemente separa cadenas en nuestra lista.
- ¿Cuál es la respuesta a [matemáticas] 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1-1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \ times0 [/ matemáticas] =?
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por ejemplo, [math] ab + ba [/ math] es una lista de las dos cadenas [math] ab [/ math] y [math] ba [/ math].
La única otra regla que necesitamos es la distribución, que es la misma que para la multiplicación.
por ejemplo, [math] a (b + c) [/ math] y [math] ab + ac [/ math] ambos representan las dos cadenas [math] ab [/ math] y [math] ac [/ math] para que [ matemática] a (b + c) = ab + ac [/ matemática], de manera similar [matemática] (b + c) a = ba + ca [/ matemática].
Entonces, la concatenación se comporta igual que la multiplicación, excepto que conserva el orden.
Con todo esto en mente, podemos comenzar a comprender expresiones como la concatenación de [matemáticas] (a + b) (c + d) [/ matemáticas] mediante la distribución en dos pasos:
[matemáticas] \ begin {align} (a + b) (c + d) & = a (c + d) + b (c + d) \ tag * {“a” y “b” son la primera letra de cada cadena} \\ & = ac + ad + bc + bd \ tag * {“c” y “d” son las segundas letras de cada cadena} \ end {align} [/ math]
Entonces podemos imaginar la expresión previamente expandida como:
[matemáticas] \ overbrace {(a + b)} ^ {1 ^ {\ text {st}} \ text {letters}} \: \ overbrace {(c + d)} ^ {2 ^ {\ text {nd} } \ text {letters}} \ tag * {} [/ math]
Armados con esto, podemos dirigir nuestra atención a la expansión binomial general:
[matemáticas] (a + b) ^ n = \ overbrace {(a + b) (a + b) \ cdots (a + b)} ^ {n \ text {times}} \ tag * {} [/ math]
Cada factor aporta posibles letras “[matemáticas] a [/ matemáticas]” o “[matemáticas] b [/ matemáticas]” en las posiciones [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] n [/ matemáticas] de cada cadena listado:
[matemáticas] (a + b) ^ n = \ overbrace {(a + b)} ^ {1 ^ {\ text {st}} \ text {letters}} \: \ overbrace {(a + b)} ^ { 2 ^ {\ text {nd}} \ text {letras}} \ cdots \ overbrace {(a + b)} ^ {n ^ {\ text {th}} \ text {letras}} \ tag * {} [/ matemáticas]
p.ej
[matemáticas] \ begin {align} (a + b) ^ 3 & = \ overbrace {(a + b)} ^ {1 ^ {\ text {st}} \ text {letters}} \: \ overbrace {(a + b)} ^ {2 ^ {\ text {nd}} \ text {letras}} \: \ overbrace {(a + b)} ^ {3 ^ {\ text {rd}} \ text {letters}} \\ & = aaa + aab + aba + baa + abb + bab + bba + bbb \ end {align} \ tag * {} [/ math]
La primera letra de cada cadena de la lista siempre proviene del primer factor, la segunda letra siempre proviene del segundo factor y así sucesivamente.
Tenga en cuenta que tenemos 4 clases de cadena:
- uno con 3 [matemáticas] a [/ matemáticas] s: [matemáticas] aaa [/ matemáticas]
- tres con 2 [matemáticas] a [/ matemáticas] sy 1 [matemáticas] b [/ matemáticas]: [matemáticas] aab, aba, baa [/ matemáticas]
- tres con 1 [matemática] a [/ matemática] y 2 [matemática] b [/ matemática] s: [matemática] abb, bab, bba [/ matemática]
- uno con 3 [matemáticas] b [/ matemáticas] s: [matemáticas] bbb [/ matemáticas]
Las cadenas en una clase dada tienen el mismo número de [math] a [/ math] sy el mismo número de [math] b [/ math] s, esto será claramente cierto en general ya que así es como definimos las clases en primer lugar.
También vemos que, en general, para [math] (a + b) ^ n [/ math], cada cadena posible de [math] a [/ math] sy [math] b [/ math] s es la longitud [ math] n [/ math] estará presente en nuestra lista exactamente una vez . Esto significa que podemos contar fácilmente el número de cadenas en cada clase.
por ejemplo, ¿cuántas cadenas son generadas por [math] (a + b) ^ 6 [/ math] que tienen 2 [math] a [/ math] sy 4 [math] b [/ math] s?
Podríamos enumerarlos, por supuesto, pero si queremos generalizar nuestro resultado, necesitamos un enfoque más formulado. Cada una de estas cadenas será una disposición única de 2 [matemáticas] a [/ matemáticas] sy 4 [matemáticas] b [/ matemáticas] sy ocurrirá exactamente una vez, ¡así que sabemos que son [matemáticas] 6! / (2 ! 4!) [/ Matemáticas] de ellos. ¿Cómo? Bueno, hay [matemáticas] 6! [/ Matemáticas] arreglos de 6 letras distintas [matemáticas] a_1, a_2, b_1, b_2, b_3, b_4 [/ matemáticas] pero dividimos por las permutaciones de cada tipo de letra [matemáticas] 2 ! [/ math] para [math] a [/ math] sy [math] 4! [/ math] para [math] b [/ math] s, esto asegura que no contamos en exceso los arreglos donde solo [math] ] a [/ math] s están permutados con [math] a [/ math] s y solo [math] b [/ math] s están permutados con [math] b [/ math] s.
En general, entonces, para las cadenas generadas por [math] (a + b) ^ n [/ math], hay
[matemáticas] \ dfrac {n!} {k! (nk)!} \ tag * {} [/ matemáticas]
cadenas en la clase con [matemáticas] k [/ matemáticas] [matemáticas] a [/ matemáticas] sy [matemáticas] nk [/ matemáticas] [matemáticas] b [/ matemáticas] s.
Ahora, aquí es donde recordamos que la expansión binomial implica la multiplicación, que disfruta de una propiedad especial que la concatenación no: la propiedad conmutativa. Esto significa que, en una cadena, los símbolos algebraicos de nuestra expansión pueden evaluarse (y por lo tanto escribirse) en cualquier orden . Por lo tanto, las cadenas como [math] abbbba [/ math] se pueden escribir [math] aabbbb [/ math] o simplemente [math] a ^ 2b ^ 4 [/ math]. Luego, el número de veces que aparece una cadena con 2 [matemáticas] a [/ matemáticas] sy 4 [matemáticas] b [/ matemáticas] s ([matemáticas] 6! / (2! 4!) [/ Matemáticas]) simplemente se convierte el coeficiente de [matemática] a ^ 2b ^ 4 [/ matemática] ya que es la cantidad de veces que aparece en la lista.
p.ej
[matemáticas] \ begin {align} (a + b) ^ 6 & = \ dfrac {6!} {6! 0!} a ^ 6b ^ 0 + \ dfrac {6!} {5! 1!} a ^ 5b ^ 1+ \ dfrac {6!} {4! 2!} A ^ 4b ^ 2 + \ dfrac {6!} {3! 3!} A ^ 3b ^ 3 + \ dfrac {6!} {2! 4!} a ^ 2b ^ 4 + \ dfrac {6!} {1! 5!} a ^ 1b ^ 5 + \ dfrac {6!} {0! 6!} a ^ 0b ^ 6 \ tag * {} \\ [1ex ] & = a ^ 6 + 6a ^ 5b + 15a ^ 4b ^ 2 + 20a ^ 3b ^ 3 + 15a ^ 2b ^ 4 + 6ab ^ 5 + b ^ 6 \ end {align} [/ math]
A menudo abreviamos [math] n! / (R! (Nr)!) [/ Math] a [math] \ binom {n} {r} [/ math] que notará que la simetría muestra es igual a [math] \ binom {n} {nr} [/ matemáticas]. Esto se llama el “coeficiente binomial”.
En general, entonces, escribimos:
[matemáticas] \ displaystyle (a + b) ^ n = \ binom {n} {n} a ^ nb ^ 0 + \ binom {n} {n-1} a ^ {n-1} b ^ 1 + \ binom {n} {n-2} a ^ {n-2} b ^ 2 + \ cdots + \ binom {n} {1} a ^ 1b ^ {n-1} + \ binom {n} {0} a ^ 0b ^ n \ tag * {} [/ math]
o, en notación sumatoria:
[matemáticas] \ displaystyle (a + b) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {nk} a ^ {nk} b ^ k \ tag * {} [/ matemáticas]
Extra
Lo mejor de pensar en términos de concatenación de letras es que la idea puede extenderse fácilmente a trinomios y más allá.
Por ejemplo, podemos considerar generar cadenas concatenando [matemáticas] (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) [/ matemáticas] o simplemente [matemáticas] (a + b + c) ^ 3 [/ matemáticas]. Luego, el primer factor contribuye con la primera letra de cada cadena, el segundo factor contribuye con la segunda letra y el tercer factor contribuye con la tercera letra de cada cadena.
Para este ejemplo, terminaremos con una lista de cadenas de 3 letras de largo, como [math] aab, abc, ccc [/ math] y así sucesivamente. Todavía podemos usar nuestro método para contar cadenas de cada clase, solo que esta vez las clases son más numerosas:
- 3 [matemáticas] a [/ matemáticas] s
- 2 [matemáticas] a [/ matemáticas] s, 1 [matemáticas] b [/ matemáticas]
- 2 [matemáticas] a [/ matemáticas] s, 1 [matemáticas] c [/ matemáticas]
- 1 [matemáticas] a [/ matemáticas], 2 [matemáticas] b [/ matemáticas] s
- 1 [matemáticas] a [/ matemáticas], 2 [matemáticas] c [/ matemáticas] s
- 1 [matemáticas] b [/ matemáticas], 2 [matemáticas] c [/ matemáticas] s
- 1 [matemáticas] a [/ matemáticas], 1 [matemáticas] b [/ matemáticas], 1 [matemáticas] c [/ matemáticas]
Sin embargo, en general, para contar el número de cadenas con [matemática] k [/ matemática] [matemática] a [/ matemática] s [matemática] l [/ matemática] [matemática] b [/ matemática] sy [matemática] m [/ math] [math] c [/ math] s en la lista generada por [math] (a + b + c) ^ n [/ math] debemos contar las permutaciones totales de [math] n [/ math] distintas letras y divida las permutaciones de cada tipo de letra dando [math] n! / (k! l! m!) [/ math]. Donde, claramente, tenemos [matemáticas] n = k + l + m [/ matemáticas]. Entonces, después de recopilar cadenas del mismo tipo y usar la regla conmutativa como con la expansión binomial, la suma trinomial es:
[matemáticas] \ displaystyle (a + b + c) ^ n = \ sum_ {k + l + m = n} \ dfrac {n!} {k! l! m!} a ^ kb ^ lc ^ m \ tag * {}[/matemáticas]
Al extender la idea a la expansión multinomial de [matemáticas] (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \ cdots + a_t) ^ n [/ matemáticas] obtenemos una suma similar:
[matemáticas] \ displaystyle (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \ cdots + a_t) ^ n = \ sum_ {k_1 + \ cdots + k_t = n} \ dfrac {n!} {k_1! k_2! k_3! k_4! \ cdots k_t !} a_1 ^ {k_1} a_2 ^ {k_2} a_3 ^ {k_3} a_4 ^ {k_4} \ cdots a_t ^ {k_t} \ tag * {} [/ math]
