No sé sobre “simple”, pero aquí está todo lo que tengo.
Conceptualmente, la instancia más simple sería un grupo libre.
En cualquier grupo, si tiene elementos [matemática] a, b, c, d [/ matemática], puede formar dos conmutadores y multiplicarlos:
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[matemáticas] z = [a, b] [c, d] [/ matemáticas]
donde, como de costumbre, [matemáticas] [a, b] = aba ^ {- 1} b ^ {- 1} [/ matemáticas] (algunos autores prefieren [matemáticas] [a, b] = a ^ {- 1} b ^ {- 1} ab [/ math], pero esto no hace ninguna diferencia material). Queremos que [math] z [/ math] no sea un conmutador en sí mismo. Ahora, si esto es posible en cualquier grupo, entonces también debe ser el caso en el grupo libre [math] F_4 [/ math] generado por [math] a, b, c, d [/ math].
He aquí por qué: si hubiera sido cierto que [matemáticas] [a, b] [c, d] = [w_1, w_2] [/ matemáticas] en [matemáticas] F_4 [/ matemáticas] para algunas palabras ingeniosamente elegidas [matemáticas] w_1, w_2 [/ math], entonces se seguiría que cada producto de conmutadores es un conmutador en cada grupo [math] G [/ math]. Uno simplemente necesitaría construir un homomorfismo de [matemática] F_4 [/ matemática] a [matemática] G [/ matemática], mapeando los generadores [matemática] a, b, c, d [/ matemática] a los elementos apropiados en [ matemática] G [/ matemática], y calculando [matemática] w_1, w_2 [/ matemática] en [matemática] G [/ matemática]. Ese es el objetivo de los grupos libres: pueden asignarse arbitrariamente a cualquier cosa.
Por lo tanto, tan pronto como sepa que algunos productos conmutadores no son conmutadores en algún grupo, puede concluir de inmediato que el producto conmutador de los generadores de un grupo libre tiene que ser un ejemplo. Y, de hecho, en [matemáticas] F_4 = F (a, b, c, d) [/ matemáticas], el elemento [matemáticas] z = [a, b] [c, d] [/ matemáticas] no es un conmutador. Eso tiene mucho sentido intuitivo, ya que el grupo es libre y todo, pero probarlo no es del todo trivial. Conceptualmente, creo que este es el ejemplo más simple de construir, pero tendré que pensar en una prueba que pueda encajar razonablemente en una respuesta de Quora.
Los grupos finitos también serían un lugar natural para buscar, ya que son muy concretos. Desafortunadamente, los grupos finitos más pequeños que tienen un no conmutador en el grupo de conmutadores son de tamaño 96 y no parecen tener una descripción particularmente agradable. Por supuesto, puede observar esto muy fácilmente usando un sistema como GAP, pero esto puede no calificar como una instancia “simple” o esclarecedora.
El grupo [math] G = \ mbox {SL} _2 (\ mathbb {R}) [/ math] proporciona un ejemplo explícito muy agradable. Este es simplemente el grupo de [math] 2 \ times 2 [/ math] matrices de números reales con determinante [math] 1 [/ math], con la multiplicación matricial habitual como producto. Mostraremos que [math] -I = \ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} [/ math] pertenece al subgrupo de conmutadores; en otras palabras, es un producto de conmutadores – pero no es en sí mismo un conmutador.
Es bien sabido que [math] G [/ math] es un grupo “casi simple”: el centro de [math] G [/ math] es solo el grupo [math] \ {I, -I \} [/ math ] de 2 elementos, y aparte de esto, no hay subgrupos normales. En otras palabras, el grupo [math] G / Z (G) = \ mbox {PSL} _2 (\ mathbb {R}) [/ math] es simple. Keith Conrad da una muy buena prueba de este hecho clásico en esta nota, y también se puede encontrar en la mayoría de los libros de texto de Teoría de grupos, como Rotman.
El grupo conmutador [matemática] G ‘[/ matemática] de [matemática] G [/ matemática] es generado por los conmutadores, y es un subgrupo normal que claramente es mucho más grande que el centro (escriba cualquier conmutador aleatorio de dos matrices de determinante [matemática] 1 [/ matemática] y es poco probable que obtenga [matemática] I [/ matemática] o [matemática] -I [/ matemática]). Entonces, de hecho, [matemáticas] G ‘= G [/ matemáticas]: cada elemento es un producto de conmutadores, y decimos que [matemáticas] G [/ matemáticas] es un grupo perfecto. En particular, [matemáticas] -I \ en G ‘[/ matemáticas].
Pero [math] -I [/ math] no es en sí mismo un conmutador.
Prueba : suponga que es así, lo que significa que hay matrices [matemáticas] A, B \ en G [/ matemáticas] con [matemáticas] ABA ^ {- 1} B ^ {- 1} = -I [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] ABA ^ {- 1} = -B [/ matemáticas]. Recuerde que la traza de una matriz es la suma de sus elementos diagonales, y que [math] \ mbox {tr} (AB) = \ mbox {tr} (BA) [/ math]. Resulta que
[matemáticas] \ mbox {tr} (ABA ^ {- 1}) = \ mbox {tr} (BA ^ {- 1} A) = \ mbox {tr} (B) [/ matemáticas]
así que en nuestro caso, [math] \ mbox {tr} (B) = \ mbox {tr} (- B) = – \ mbox {tr} (B) [/ math], que significa [math] \ mbox {tr} (B) = 0 [/ matemáticas]. No es difícil demostrar que dicha matriz se conjuga con [matemática] R = \ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] (En general, todos los elementos de [math] ] G [/ math] con traza menor que 2 en valor absoluto se conjugan con rotaciones). También podríamos asumir que [matemáticas] B [/ matemáticas] no es otro que [matemáticas] R [/ matemáticas], porque [matemáticas] [A, B] = [XAX ^ {- 1}, XBX ^ {- 1 }] [/ math] es cierto en cualquier grupo, por lo que podemos movernos libremente de lo que sea [math] B [/ math] a un conjugado de él.
Así que en realidad tenemos [matemática] [A, R] = – I [/ matemática], que significa [matemática] R ^ {- 1} AR = -A [/ matemática]. Deje que [math] A = \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} [/ math]. Luego
[matemáticas] R ^ {- 1} AR = \ begin {pmatrix} d & -c \\ -b & a \ end {pmatrix} [/ math]
entonces [matemática] d = -a [/ matemática] y [matemática] b = c [/ matemática], lo que significa [matemática] A [/ matemática] tiene la forma [matemática] \ begin {pmatrix} a & b \\ b & -a \ end {pmatrix} [/ math]. Pero esto hace que [math] \ det (A) = – a ^ 2-b ^ 2 = 1 [/ math] que es imposible para [math] a, b \ in \ mathbb {R} [/ math]. QED
