A los matemáticos les gusta resolver problemas de clasificación : dado un tipo interesante de objeto para estudiar, les gusta saber, si es posible, cómo es cada objeto de ese tipo. Puedes pensar en esto como una especie de taxonomía matemática.
Por ejemplo, la clasificación de los grupos de fondos de pantalla (grupo de fondos de pantalla) resuelve el problema de cómo describir patrones de fondos de pantalla, como este:
Un problema de clasificación realmente interesante que le gustaría resolver es la clasificación de los múltiples (vea Múltiple y ¿Cuál es la mejor manera de explicar el concepto de múltiple a un novato?). Por varias razones técnicas en las que no entraré, este problema de clasificación no se puede resolver en general, pero hay algunos casos especiales en los que se puede decir mucho.
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Por ejemplo, la clasificación de lo que se llama superficies cerradas , que son ciertas variedades bidimensionales particularmente agradables, es conocida y clásica (Superficie). La mitad de estos son orientables , lo que en particular significa que pueden integrarse en un espacio tridimensional, por lo que son más fáciles de dibujar que la otra mitad. Se ven como donas con múltiples agujeros en ellas, así:
La otra mitad es un poco más extraña, pero la botella de Klein da un ejemplo:
El teorema de geometrización es una herramienta que nos ayuda a comprender el problema de clasificación correspondiente para los colectores tridimensionales orientables cerrados. Más precisamente, es un análogo tridimensional de un teorema bidimensional llamado teorema de uniformización, que nos dice que las variedades bidimensionales orientables cerradas se pueden entender en términos de geometría :
- La esfera se puede entender usando geometría esférica bidimensional.
- El toro (la rosquilla con un agujero) se puede entender usando geometría euclidiana bidimensional.
- Los otros (las rosquillas con dos o más agujeros) se pueden entender usando geometría hiperbólica bidimensional.
El último caso es el caso más interesante con diferencia; le dice que las rosquillas con múltiples agujeros están estrechamente relacionadas con las teselaciones hiperbólicas , que son objetos hermosos que puede ver en algunas impresiones de Escher. Aquí hay un ejemplo:
El teorema de la geometrización dice que una afirmación similar es verdadera para 3-múltiples, excepto que en lugar de solo tres tipos de geometría hay ocho , las geometrías de Thurston (conjetura de la geometrización), y hay algún otro truco que debes hacer para que la afirmación sea correcta. Es una cosa poderosa saber sobre 3-múltiples, y ayuda a las personas que estudian mucho 3-múltiples.
Resulta que clasificar las variedades n-dimensionales orientables cerradas para cualquier valor particular de n mayor que 3 es inútil, por lo que esta es, en cierto sentido, la última dimensión en la que uno puede esperar que algo tan bueno sea cierto. ¡Así que atesora el teorema de la geometrización!
Lectura adicional no técnica sobre estos temas generales (no la geometrización per se):
- Amazon.com: Las simetrías de las cosas (9781568812205): John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss: Libros
- Amazon.com: The Shape of Space (Chapman & Hall / CRC Pure and Applied Mathematics) (9780824707095): Jeffrey R. Weeks: Libros
- La gema de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología: David S. Richeson: 9780691154572: Amazon.com: Libros
- Anhelo de lo imposible: las sorprendentes verdades de las matemáticas: John C. Stillwell: 9781568812540: Amazon.com: Libros
