¿Cuál es la transformada de Laplace de t ^ 2 e ^ -t sint?

La función dada es …

[matemáticas] f (t) = t ^ 2e ^ {- t} \ sin (t) [/ matemáticas]

Lo sabemos…

[matemáticas] L [t ^ nf (t)] = (-) ^ n \ dfrac {d ^ n} {ds ^ n} (L [f (t)] [/ matemáticas] [matemáticas]) [/ matemáticas]

Entonces…

[matemáticas] L [t ^ 2e ^ {- t} \ sin (t)] = (-) ^ 2 \ dfrac {d ^ 2} {ds ^ 2} (L [e ^ {- t} \ sin (t )])… (1) [/ matemáticas]

De nuevo sabemos que …

[matemáticas] L [e ^ {- t} \ sin (t)] = \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- st} e ^ {- t} \ sin (t) dt [/ matemáticas]

[math] = \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- (s + 1) t} \ sin (t) dt [/ math]

[matemáticas] = [\ dfrac {e ^ {- (s + 1) t}} {(s + 1) ^ 2 + 1} (- (s + 1) \ sin (t) – \ cos (t)) ] _0 ^ {\ infty} [/ math]

[matemáticas] = 0 + \ dfrac {1} {(s + 1) ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {(s + 1) ^ 2 + 1}, Rel (s)> – 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto de (1) obtenemos …

[matemáticas] L [t ^ 2e ^ {- t} \ sin (t)] = \ dfrac {d ^ 2} {dp ^ 2} [\ dfrac {1} {(s + 1) ^ 2 + 1}] [/matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {2 (s + 1)} {[(s + 1) ^ 2 + 1] ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 2 \ dfrac {[(s + 1) ^ 2 + 1] ^ 2 \ cdot 1–4 [(s + 1) ^ 2 + 1] (s + 1) ^ 2} {[(s +1) ^ 2 + 1] ^ 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 2 \ dfrac {(s + 1) ^ 2 + 1–4 (s + 1) ^ 2} {[(s + 1) ^ 2 + 1] ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2 [3 (s + 1) ^ 2-1]} {[(s + 1) ^ 2 + 1] ^ 3} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el problema está hecho.

Espero que esta respuesta te ayude.