Gracias por el A2A. En matemáticas, todo necesita una definición para tener significado. Prácticamente, a menudo debemos confiar en el contexto, la convención y la notación mutuamente entendida para evitar que cada enunciado matemático se vuelva difícil de manejar. Definir todo cada vez es simplemente demasiado confuso.
Su ejemplo, [math] 2 \ log (-2) [/ math], es un buen ejemplo de la dificultad que puede surgir cuando hay más de una convención y no hay notación mutuamente entendida.
¿Cuál es la definición de [math] \ log [/ math]? Hay dos problemas que deben resolverse. Cuando los estudiantes aprenden por primera vez sobre los logaritmos, es muy común que aprendan que [matemáticas] \ log (\ cdot) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ log_ {10} (\ cdot) [/ matemáticas] son lo mismo mientras que [math] \ ln (\ cdot) [/ math] significa lo mismo que [math] \ log_ {e} (\ cdot) [/ math]. Los matemáticos más experimentados tienden a usar [math] \ log (\ cdot) [/ math] para significar lo mismo que [math] \ log_ {e} (\ cdot) [/ math]. Esa será mi suposición, ya que es la convención más común después de completar una matemática de nivel introductorio.
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Pero, ¿cómo se define realmente [math] \ log (\ cdot) [/ math]? Una definición común es que [math] \ log (\ cdot) [/ math] es una función de [math] \ mathbb R ^ + [/ math] a [math] \ mathbb R [/ math] tal que [math] \ forall x \ in \ mathbb R ^ + [/ math], [math] \ log (x) = \ int_1 ^ x \ frac {dt} t [/ math].
Bajo esa definición, [math] 2 \ log (-2) [/ math] obviamente no está definido ya que el argumento del logaritmo, [math] -2 [/ math], no es un elemento de [math] \ mathbb R ^ + [/ math] como lo requiere la definición.
Por otro lado, también es común definir [math] \ log (\ cdot) [/ math] como el logaritmo complejo de valores múltiples que mapea cualquier número complejo distinto de cero en un conjunto de valores dados de la siguiente manera:
Para todos [math] z \ in \ mathbb C [/ math], escribimos [math] z = r \ exp (i \ theta) [/ math] para algunos [math] r \ in \ mathbb R ^ + [/ matemática] y [matemática] \ theta \ in \ left (- \ pi, \ pi \ right] [/ math]. Entonces
[math] \ log (z) = \ {w \ in \ mathbb C | w = \ log (r) + i (\ theta + 2 \ pi n) [/ math] para algunos [math] n \ in \ mathbb Z \} [/ matemáticas]
(En esta definición, la función [math] \ log (\ cdot) [/ math] utilizada en [math] \ log (r) [/ math] se refiere a la función de registro de valor real definida por la integral dada anteriormente).
Y vemos que, al usar esta definición, [math] 2 \ log (-2) [/ math] está perfectamente bien definido.
[matemáticas] -2 = 2 \ exp (i \ pi) \ \ implica \ \ log (-2) = \ log (2) + (2n + 1) \ pi i [/ matemáticas]
Luego
[matemáticas] 2 \ log (-2) = 2 \ log (2) + (2n + 1) \ cdot 2 \ pi i [/ matemáticas]
Y vemos que [math] 2 \ log (-2) [/ math] es un conjunto infinitamente contable de números complejos, cada uno de los cuales tiene la misma parte real dada por [math] 2 \ log (2) [/ math] y cuyas partes imaginarias son simplemente múltiplos de [matemática] \ pi [/ matemática] que tienen exactamente un factor de [matemática] 2 [/ matemática] (es decir, incluso los enteros que no son divisibles por [matemática] 4 [/ matemática]) .
Ahora, como si eso no fuera lo suficientemente confuso, en realidad hay otra definición común para el símbolo [math] \ log (\ cdot) [/ math] que a menudo se llama el valor principal del logaritmo natural complejo. Coincide con la definición compleja dada anteriormente, excepto que proporciona una salida única con [math] n = 0 [/ math], en lugar de un conjunto completo de salidas para cualquier [math] n \ in \ mathbb Z [/ math]. Usando esta definición, vemos que:
[matemáticas] 2 \ log (-2) = 2 \ log (2) +2 \ pi i [/ matemáticas]
Puede ser de algún interés para usted que usando el valor principal, [matemática] 2 \ log (-2) \ ne \ log \ left ((- 2) ^ 2 \ right) = \ log (4) = 2 \ log (2) [/ math] como las “reglas de registro” que aprendiste en tus primeras clases de matemática podrían llevarte a creer. De hecho, vemos que [math] 2 \ log (2) = 2 \ log (2) +0 \ pi [/ math] y dado que [math] 0 [/ math] es divisible por [math] 4 [/ math ], vemos que incluso en el conjunto infinitamente infinito de valores definidos por el logaritmo complejo de valores múltiples, la igualdad nunca se cumple.
