¿Cuál es el significado físico del producto triple vectorial?

Estoy seguro de que sabe que el producto triple escalar entre tres vectores representa el volumen de un paralelepípedo con los bordes representados por los tres vectores en cuestión. Desafortunadamente, no existe una interpretación física tan simple del producto triple vectorial, pero hay una manera de visualizar lo que está sucediendo.

Supongamos que el producto triple es [matemáticas] \ vec {a} \ veces (\ vec {b} \ veces \ vec {c}) [/ matemáticas]

Para encontrar el vector que es igual a la expresión anterior, realice los siguientes pasos:

1. Proyecte el vector [math] \ vec {a} [/ math] en el plano de [math] \ vec {b} [/ math] y [math] \ vec {c} [/ math]
2. Gire el vector obtenido en el paso anterior 90 grados en el plano de [math] \ vec {b} [/ math] y [math] \ vec {c} [/ math] de [math] \ vec {c} [ / math] a [math] \ vec {b} [/ math].

Por supuesto, hay una prueba de por qué esto funciona, sin embargo, omitiré la prueba aquí (le sugiero encarecidamente que intente probarla usted mismo más adelante). En cambio, le daré un ejemplo simple para ilustrar cómo funcionan los pasos anteriores:

Deje [math] \ vec {a} = \ hat {i} + \ hat {j} + \ hat {k} [/ math], [math] \ vec {b} = \ hat {i} [/ math] , [matemáticas] \ vec {c} = \ hat {j} [/ matemáticas]

Paso 1: Proyección del vector [math] \ vec {a} [/ math] en el plano de [math] \ vec {b} [/ math] y [math] \ vec {c} [/ math] (xy plano) produce [matemáticas] \ hat {i} + \ hat {j} [/ matemáticas]

Paso 2: Girar el vector noventa grados en la dirección de [math] \ hat {j} [/ math] a [math] \ hat {i} [/ math] da el resultado final como [math] \ hat {i } – \ hat {j} [/ math]

Le dejaré que verifique que este sea el resultado correcto realizando el producto cruzado por cualquier medio (puede usar la fórmula de Lagrange o simplemente multiplicar los términos).

El “producto triple vectorial” no es más que el determinante de una matriz. En particular, si tomas las columnas de una matriz como tus tres vectores, el determinante de la matriz es igual al producto triple.
Al principio, descubrí que cada aplicación física del producto triple no era intuitiva, hasta que me doy cuenta de este hecho básico.

Es el volumen firmado del paralelopípedo sólido formado por los 3 vectores.

Me refiero a [math] (a \ times b) \ cdot c [/ math], que creo que en realidad se llama el “producto triple escalar”. El significado físico de [matemáticas] (a \ veces b) \ veces c [/ matemáticas] no es tan obvio. Recuerdo haberlo usado solo una vez: en algún lugar de la derivación de una de las Leyes de Kepler de Newton.

El momento angular a lo largo de cualquiera de estos 3 ejes es un ejemplo de tal producto vectorial.