Aquí hay una respuesta que quiere rigor. Considere el grupo de traducciones infinitesimales [matemáticas] \ Big (\ mathcal {T} _ {\ epsilon} f \ Big) (x) = f (x + \ epsilon) [/ math]. Suponiendo que [math] f [/ math] es analítico, ampliamos aproximadamente [math] \ epsilon = 0 [/ math] para obtener
[matemáticas] f (x + \ epsilon) = f (x) + \ epsilon f \, ‘(x) + \ frac {\ epsilon ^ 2} {2} f \,’ ‘(x) + \ frac {\ epsilon ^ 3} {6} f \, ” ‘(x) + \ cdots. [/ Math]
En términos del operador diferencial [math] \ mathcal {D} _x [/ math], tenemos el resultado formal
- ¿Alguien puede probar matemáticamente que la masa y la gravedad son directamente proporcionales entre sí?
- ¿Somos tridimensionales o bidimensionales?
- ¿Serían mejores los graduados de física o matemáticas en un grupo de expertos?
- La antimateria fue descubierta teóricamente por la raíz cuadrada x ^ 2 es igual a + -x. ¿Qué representa la raíz cuadrada de x ^ 2? ¿Y también qué representaría algo como x ^ 3 o x ^ 7? Y si un número como la raíz cuadrada de x ^ 7 se simplifica a x3 (raíz cuadrada de x), ¿qué representaría este número?
- ¿Cuánto más elegante se vuelve la física en el nivel avanzado?
[matemáticas] \ Big (\ mathcal {T} _ {\ epsilon} f \ Big) (x) = \ Big (\ mathcal {I} + \ epsilon \ mathcal {D} _x + \ frac {\ epsilon ^ 2} {2} \ mathcal {D} _x ^ 2 + \ frac {\ epsilon ^ 3} {6} \ mathcal {D} _x ^ 3 + \ cdots \ Big) f (x) [/ math]
o
[math] \ Big (\ mathcal {T} _ {\ epsilon} f \ Big) (x) = \ exp \ Big (\ epsilon \ mathcal {D} _x \ Big) f (x). [/ math]
El generador infinitesimal de [math] \ mathcal {T} _ {\ epsilon} [/ math] es
[matemáticas] \ matemáticas {D} _x = \ izquierda. \ Big (\ frac {\ partial} {\ partial \ epsilon} \ mathcal {T} _ {\ epsilon} \ Big) \ right | _ {\ epsilon = 0} [/ math]
y el operador completo se recupera mediante la exponenciación de lo infinitesimal.
Puedes jugar el mismo juego con el grupo de dilataciones [math] \ Big (\ mathcal {S} _ {\ epsilon} f \ Big) (x) = f (e ^ {\ epsilon} x). [/ Math]
