Un homomorfismo es un mapa que preserva la estructura entre dos estructuras matemáticas (un conjunto de elementos con algunas operaciones en esos elementos). Las dos estructuras pueden ser distintas, como los números reales y el conjunto de matrices de 2 por 2 (ambas con la suma y multiplicación habituales) o pueden ser de una estructura en sí misma (un automorfismo).
Una función del conjunto de enteros para preservar la suma (un homomorfismo de esta estructura) requeriría, por ejemplo:
[matemáticas] f (a + b) = f (a) + f (b) [/ matemáticas]
- ¿Debo especializarme en Física o Matemáticas, con el otro como mi menor?
- ¿Existe un nombre para el concepto de 'aceleración de aceleración'?
- ¿Por qué puede un Delta de Dirac tener un solo estado limitado?
- ¿La física cuántica requiere más matemáticas o química?
- ¿Qué fenómenos físicos generalmente se modelan usando cálculo fraccional?
Un homomorfismo sería único si solo uno de esos mapas satisface las condiciones que se imponen. Si hay un homomorfismo único en ambas direcciones (un isomorfismo), entonces las estructuras son esencialmente equivalentes (bajo las operaciones relevantes).
Se dice que los números reales son únicos hasta el homomorfismo. Es decir, cualquier estructura que satisfaga los axiomas habituales para los números reales es isomorfo a la estructura habitual [matemáticas] (\ R, +, \ veces) [/ matemáticas].
Todos estos son conceptos matemáticos. Las matemáticas se aplican a la física a través de un modelo (muy parecido a un homomorfismo) que asigna entidades matemáticas a entidades físicas. Los números reales a menudo se modelan mediante una línea física (ideal), pero también hay un modelo llamado Línea proyectiva real que modela los números reales más el infinito como un círculo físico (ideal). Hay un homomorfismo entre los dos que se ilustra físicamente proyectando puntos del círculo en la línea y viceversa. En la línea proyectiva real más y menos infinito (en los ‘extremos’ de la línea real habitual) únete para ser un único punto que complete el círculo.
Muchos conceptos de simetría física como traslaciones, rotaciones y reflexiones (pero también simetrías de partículas fundamentales, etc.) pueden describirse como homorfismos que preservan cosas como la escala, el ángulo o la conectividad. ¡Preservar solo la estructura topológica permite equivalencias homomórficas que significan que una taza de café es lo mismo que una rosquilla porque hay una superficie ‘única’ con un ‘agujero’ en ella!
