¿Cuáles son algunos ejemplos de teoremas matemáticos que fueron comúnmente aceptados en un punto pero que desde entonces han demostrado ser falsos?

Las matemáticas se utiliza con frecuencia para el modelo, comprender y predecir los fenómenos físicos. Del mismo modo, la intuición física puede informar a los matemáticos y sugerir nuevas ideas matemáticas, incluso cuando una gran cantidad de “evidencia experimental previa” sugiere lo contrario. Además, a veces los modelos existentes son tan ubicuos que generalmente se consideran “verdades”, que se extienden más allá de su matemática prevista utilizar.

Un buen ejemplo es la relación entre el antiguo teorema de muestreo de Nyquist-Shannon y la formulación más nueva de detección comprimida

Desde hace algún tiempo, se ha “sabido” que el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon proporciona una condición suficiente para el muestreo y la reconstrucción de una señal (de banda limitada). También se podría haber creído que esto era “sinceramente” lo mejor que se podía esperar hacer en un sentido general. Es decir, algunos podrían creer que también era una condición necesaria, aunque el teorema no lo dice.

De hecho, probablemente muchos ingenieros y científicos interpretan el teorema de muestreo como generalmente necesario como una cuestión de experiencia.

Sin embargo, desde la década de 1970, los geofísicos y astrofísicos sabían que se pueden reconstruir señales con muchos menos datos de los que aconseja el teorema de muestreo (y los métodos L1 han existido desde Laplace).

Alrededor de 2004, Emmanuel Candès, Terence Tao y David Donoho se sentaron y “probaron” que, en general, podemos reconstruir una señal o imagen con muchos menos datos de los que considera suficientes según el criterio de Nyquist-Shannon. Es decir, Tao desarrolló una ‘teoría matemática’ para ayudar a organizar y formalizar las viejas ideas.

Hemos aprendido que no estamos limitados por el ancho de banda de la señal, sino por su estructura. La física ha informado pura matemática. El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon sigue siendo ‘suficiente’, pero generalmente podemos hacerlo mucho mejor. Esto es similar, en espíritu, a cómo la mecánica cuántica extiende la mecánica clásica. Tanto un verdadero-uno es más general.

Pero para citar la entrada de Wikipedia sobre detección comprimida, [podemos usar muchos menos datos que] “se consideraría insuficiente por el criterio de Nyquist-Shannon”. El teorema de Nyquist-Shannon nunca ayudó a esto, pero, sin duda, ha sido interpretado de esta manera por muchos años por muchas personas. Y así, en esto desde entonces, esta ‘verdad falsa’ se muestra falsa.

Dado que los teoremas matemáticos se prueban usando la lógica, la única forma en que un “teorema” podría resultar falso es si hubiera una falla lógica en su prueba de que nadie vio durante mucho tiempo. Sé que esto ha sucedido, pero en los ejemplos que puedo pensar fuera del tema de mi cabeza, las pruebas fueron corregidas y se descubrió que los teoremas eran ciertos todo el tiempo. Encontré un ejemplo donde el “teorema” estaba equivocado del artículo de Wikipedia: “Un” teorema “de Jan-Erik Roos en 1961 declaró que en una categoría abeliana [AB4 *], lim1 desaparece en las secuencias de Mittag-Leffler. Este” teorema ” fue utilizado por muchas personas desde entonces, pero fue refutado por el contraejemplo en 2002 por Amnon Neeman “[Un contraejemplo de un” teorema “en álgebra homológica de 1961]” No tengo idea de lo que eso significa. En general, supongo que este tipo de cosas es un poco más raro y menos dramático que el vuelco de una teoría científica.

Si retrocede en el tiempo, los matemáticos tenían un requisito de prueba menos riguroso, y luego hay muchos más ejemplos de creencias matemáticas que resultaron estar equivocadas. Por ejemplo, la creencia de que todos los números pythagoran eran racionales. Nadie hoy en día sería llamar a cualquiera de esas teorías creencias porque no tienen las pruebas rigurosas que los teoremas de hoy requieren. Entonces, este tipo de ejemplos probablemente solo conducirán a argumentos semánticos.

Realmente la palabra “teoría” significa cosas diferentes en matemáticas y ciencia. La ciencia usa la palabra “teoría” para significar cualquier cosa de “¡eso es una locura!” a “posible …” a “creemos que esto podría ser cierto” a “estamos bastante [improperios] seguros de que esto es cierto”. Math reserva el “teorema” para “estamos convencidos de que esto es cierto, a menos que haya un error lógico que cientos de nosotros no hayamos podido ver”, “conjetura” para “creemos que esto podría ser cierto” y “falso” para “eso es ¡loco!” También puede ver que la palabra “teoría” significa algo así como “tema” o “campo”: un conjunto de ideas, definiciones y teoremas interrelacionados (por ejemplo, teoría de categorías, teoría de grupos, etc.).

Aquí solo hay un ejemplo real, la aclaración del concepto de conjunto producido por el método de forzamiento. Esto demostró que los siguientes teoremas, que son verdaderos en la axiomatización estándar, son falsos en un sentido muy preciso y literal, producen objetos que pueden excluirse consistentemente en otras axiomatizaciones que coinciden en el resultado de todos los cálculos. Esto significa que estos teoremas afirmar la existencia de objetos que son al mismo tiempo imposible demostrar en cualquier forma concreta y sean compatibles a rechazar.

Cuando tienes un teorema que te dice que cierto objeto existe, esperas que el objeto exista, de modo que si niegas que existe, te meterás en problemas en un sentido literal, computacional. Cohen demostró que éstos teorema se puede negar sin contradicción con cualquier cálculo, por lo que si usted los cree o no depende de usted.

Pero para los teoremas que afirman la existencia de algo, siendo libre para negar la existencia de esta cosa equivale a una refutación. Entonces, estas pruebas de existencia fueron simplemente refutadas por Paul Cohen, y este golpe se llevó a cabo sin mostrar ningún problema con la prueba, sino mostrando problemas con la concepción axiomática subyacente a la prueba.

Estos son los teoremas que solían ser verdaderos pero que ahora son dudosos o falsos (dependiendo de a quién le pregunte). Todavía son ciertos en las axiomatizaciones estándar, por supuesto:

* Los números reales (o cualquier otro conjunto) pueden ser bien ordenados.

Este teorema se demostró en la teoría de conjuntos axiomáticos a comienzos del siglo XX, y se consideró simplemente cierto hasta 1963. En 1963, Paul Cohen demostró que a partir de cualquier modelo en el que esto sea cierto, uno podría agregar fácilmente nuevos símbolos para nuevos números reales que hacen que esta afirmación falsa.

Por lo tanto, se convierte en el estado de nebulosa. Obviamente lo consideraría falso, pero la mayoría de los matemáticos simplemente lo relegan a la categoría de ni falso ni verdadero, sino falso o verdadero según la conveniencia y según el modelo que desee mirar. Esta categoría siempre está presente cuando considera modelos de teorías de conjuntos con innumerables colecciones tan grandes como los números reales o más grandes.

El método fue suficientemente general e independiente de la axiomatización para mostrar que siempre es mejor pensar que el resultado es falso, al menos cuando se considera la idealización de la colección de todos los números reales, en lugar de algún modelo específico del real. números en alguna teoría de conjuntos específicos.

De modo que hoy, sabemos que no hay forma de producir un ordenamiento correcto de los reales mediante ningún procedimiento, ni de definir lo que significa tener un ordenamiento correcto de los números reales utilizando cualquier método que pueda evaluarse en más de un recuento subconjunto de los reales.

* Existe un conjunto no medible

Esto también fue un teorema, y ​​nuevamente, el método de Cohen le permitió a Solovay demostrar que no era cierto en ningún sentido razonable de la palabra “verdadero”, como se aplica a la colección de todos los números reales. Este ejemplo subsumió el anterior, porque si los reales son bien ordenados, entonces tienen un conjunto no medible. Los conjuntos que produce que no son medibles, cuando se interpretan en un modelo específico, como el L de Godel, son realmente cero en esta vista, porque las partes bien ordenables del número real son siempre pequeños pedazos de cero, y finalmente , en el sentido computacional objetivo, piezas contables.

Hay muchas consecuencias de este teorema que son verdaderas o falsas según cómo decida hacer un modelo de teoría de conjuntos:

* Se puede cortar hasta la esfera en un número finito de partes y cambiar su posición por rotación y traslación en una esfera de dos veces el tamaño.

Esto es falso cuando cada subconjunto de R es medible, lo considero falso. Es un teorema que cada parte de la esfera que se puede definir en un sentido razonable tiene medida, solo si comienzas a hacer inducción en los reales puedes dividir la esfera de esta manera.

* Cada espacio vectorial tiene una base

esto es falso cuando cada subconjunto de R es medible, lo considero falso.

* El doble dual de un espacio vectorial infinito siempre es mayor que el espacio vectorial.

Esto es sorprendentemente falso para el ejemplo del espacio vectorial de secuencias de terminación infinitas cuando cada subconjunto de R es medible.

* El dual de L_p es L_q para todos menos un par de valores duales py q.

Cuando cada subconjunto es medible, es cierto para todos los pares duales, incluso L_0 y L_infty. En axiomatizaciones estándar, no es cierto para ese par.

* Existe un ultrafiltro no principal en los enteros

falso cuando cada subconjunto es medible.

Además de estos teoremas, que, si eres honesto, simplemente fueron revocados por Paul Cohen, se propusieron axiomas o construcciones superiores que demostraron ser inconsistentes o incongruentes con la intuición.

* La existencia de una incrustación elemental del universo teórico establecido en sí mismo.

Se demostró que esto era inconsistente con el axioma de elección de Kunen. Si es consistente en esquemas sin elección, como en el universo medible es una pregunta abierta. Este fue un axioma propuesto, así que fue realmente una conjetura que era constante, y esta conjetura fue refutada. Así que no creo que cuente como un ejemplo. Los ejemplos forzados son los únicos ejemplos reales.

Un ejemplo famoso son las dos pruebas para el teorema de los cuatro colores que se dieron en 1879-1880, que se pensó que eran correctas durante más de 10 años antes de que se encontraran los errores. Hay una buena página de wikipedia que enumera muchos otros ejemplos: Lista de pruebas incompletas

¿Ves también algunos buenos ejemplos y comentarios sobre los resultados matemáticos ampliamente aceptados que luego se mostraron incorrectos?

“Pruebas y refutaciones” de Lakatos es un libro fascinante que presenta una versión simplificada, pero esencialmente precisa, según me dicen, de la historia de la comprensión de las características de Euler a través de una serie de … bueno, pruebas y refutaciones en forma de diálogo entre estudiantes

He oído que los geómetras algebraicos italianos tuvieron algunos resultados a principios y mediados del siglo XX que se demostraron con un rigor insuficiente y resultaron ser falsos. Por ejemplo, Wikipedia informa (en la escuela italiana de geometría algebraica) un par de ejemplos.

Esto es diferente del ejemplo más famoso (y elemental) del Teorema de cuatro colores (o las fallas en la primera prueba de Wiles del último teorema de Fermat, o las fallas en la clasificación de grupos simples finitos). Esas fueron pruebas imperfectas de proposiciones que luego se descubrió que eran correctas.

También es diferente de las conjeturas que luego se descubrieron que eran incorrectas, pero que nunca se afirmaron que fueran ciertas en primer lugar. Creo que uno o dos de los problemas de Hilbert entran en esta categoría.

La refutación de la conjetura de Mertens es un ejemplo sorprendente de una prueba matemática que contradice una gran cantidad de evidencia computacional a favor de una conjetura.

La conjetura establece que la función de Merton M (x) está limitada por sqrt (x)

La conjetura, que se refiere a la tasa de crecimiento de la diferencia entre el número de enteros libres de cuadrados con un número par de divisores primos y aquellos con divisores primos impares, se consideró como una vía para probar la hipótesis de Riemann. La conjetura de Mertens no solo implicaba la hipótesis de Riemann, sino que también implicaba que todos los ceros de la función zeta de Riemann eran simples, un
hecho de que, aunque no está probado, generalmente se cree que es cierto. Además de esto, la conjetura de Mertens se verificó numéricamente hasta 77.8 X 10 ^ 9.

Sin embargo, toda esta evidencia a favor de la conjetura de Mertens no equivalía a una prueba. Ollyzko y Herman publicaron un documento en el que refutan la conjetura de Mertens. Después de un breve resumen de los resultados anteriores sobre el tema, pasan a varias formas de aproximación valores de M (x), que utilizan para demostrar que M (x) j> 1 para algún valor de x> 10 ^ 30

Fuente: http://www.math.washington.edu/~ …

Otro “no es una respuesta” a su pregunta:

Hay muchos ejemplos de definiciones matemáticas que posteriormente se han generalizado. Por ejemplo, durante muchos años la definición de “número” fue lo que ahora llamamos un “entero positivo”, mientras que ahora podemos hablar de “enteros no negativos” o “enteros” o “reales” o “números complejos” o “cuaterniones”. . ”Lo que es cierto para“ enteros positivos ”(por ejemplo, cero no está definido) es falso en cualquiera de las definiciones“ modernas ”más generales de“ número ”que mencioné anteriormente.

Así que el teorema “Cero es indefinido” fue aceptado como “verdadero” por todos los que aceptaron la suposición de que un “número” era el recuento de algunos elementos reales. Pero, en matemáticas, “verdadero” y “falso” e “indecidible” dependen de las suposiciones que haga antes de exponer su hipótesis. Basta con mirar de nuevo las cuatro definiciones diferentes de “número” que enumeré anteriormente. Claramente, no todos los teoremas que son verdaderos para una de esas definiciones son necesariamente verdaderos para una definición diferente de “número”.

Para aportar más información a las respuestas informadas de otros comentaristas, un teorema necesariamente viene con una prueba. Esto tiene dos consecuencias. yo. Si una prueba está bien, el teorema está bien y, en lógica, la esencia de una prueba es la inferencia y la inferencia es la tautología , es decir, un teorema dice las mismas cosas que los teoremas anteriores o los extiende sin violar la derivación. ii) Un axioma es algo así como un teorema de orden 0. Una cosa que interviene es definiciones. Los sistemas axiomáticos pueden ser teóricamente defectuosos, incompletos o inconsistentes, y las definiciones a veces pueden ser inestables, engañosas o engañosas o mal concebidas. En tales casos, los sistemas axiomáticos pueden revisarse y las definiciones pueden limpiarse o sustituirse. Si eso sucede, aparecerá un corpus teórico actualizado o nuevo, que puede cambiar, modificar o deponer algunos teoremas, reemplazándolos por otros que están “cerca, pero mejor”.

Al hacer una investigación matemática básica durante mucho tiempo, he descubierto puntos como ese, que creo que necesitan revisión o reparación, lo que lleva a estructuras defectuosas; Esto es algo en lo que cualquier matemático teórico puro ha pensado en diferentes casos. Algunos ejemplos serían I. en la declaración de nivel de cálculo / i 0 lógico. la falta de buena definición y la diferencia operativa derivada de una “declaración central simple”, ii. la “afirmación / negatividad absoluta” de una declaración central, iii. la distinción funcional que carece incurrido entre el concepto y la no-concepto, iv. una disfuncionalidad condicionalmente enorme en los valores y tablas de verdad básicos, que conduce a una multitud de “lógicas”, que, propiamente hablando, se encuentran fuera del espíritu generador puro y del alcance de la lógica; II en aritmética y la geometría i. la ausencia de una distinción teórica entre el segmento de espacio y el ángulo de pie y viajado, ii. La distinción entre números puros y números con unidades, especialmente manifiesta en la naturaleza y el tratamiento de las unidades (recuerde, la geometría es la matemática que viene con unidades de tamaños espaciales y angulares), iii. la verdadera naturaleza de la operación de división y la configuración de las fracciones.

Disculpas si esto salió demasiado tiempo; el trabajo está en progreso …

Esta no es una respuesta a la pregunta del título, sino una respuesta a las preocupaciones implícitas planteadas en el cuerpo.

Las matemáticas no son una rama de la ciencia. El tipo de información nueva que obtenemos en matemáticas no es el tipo de información nueva que obtienen los científicos. Cuando un matemático define un objeto matemático como la secuencia numérica de Fibonacci

[matemáticas] 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… [/ matemáticas]

todo lo que hay que saber sobre ese objeto matemático ya está en principio contenido en su definición, que en este caso consiste en las condiciones iniciales [matemáticas] F_0 = 0, F_1 ​​= 1 [/ matemáticas] y la relación de recurrencia [matemáticas] F_ { n + 2} = F_ {n + 1} + F_n [/ matemáticas]. Eso es.

No es posible para los matemáticos 100 años después decir “oye, ¿recuerdas cuando pensamos que [matemáticas] 13 [/ matemáticas] era un número de Fibonacci? Bueno, gracias al Gran Colisionador de enteros, ahora sabemos que en realidad ese término se suponía be [math] 14 [/ math] “. Simplemente no sucede. Usted puede verificar por sí mismo que [matemáticas] 13 [/ matemáticas] es un número de Fibonacci a partir de la definición y la realización de un número finito de cómputos. Ese hecho nunca cambiará, y tampoco lo son los hechos menos triviales sobre los números de Fibonacci, como si if [math] n | m [/ math] luego [math] F_n | F_m [/ matemáticas].

Las teorías científicas se revisan y cambian constantemente porque la ciencia siempre está trabajando fundamentalmente con información incompleta . Si no has observado todo lo que hay que observar en el universo, siempre debes considerar la posibilidad de que lo que ya has observado sobre el universo no sea suficiente para predecir por completo cómo se comporta y que resultará alguna observación futura. ser increíblemente importante

Los matemáticos son, en cierto sentido, no limitada por este fenómeno. Cuando un objeto matemático está lo suficientemente bien definido como para poder hacer preguntas al respecto y esperar respuestas precisas, tenemos en cierto sentido información completa sobre ese objeto, y el problema de hacer matemáticas es el problema de digerir y resolver las implicaciones de todos de esa información.

Dicho de otra manera, y simplificando demasiado, hay dos formas en que una pieza científica puede estar equivocada: los datos en los que se basó son malos o el análisis de los datos es malo. Solo hay una manera de que una parte de las matemáticas esté equivocada, que es que el análisis sea malo.

Muchos matemáticos parecen luchar con el concepto de que las pruebas matemáticas son parte de varios procesos sociales. Otras respuestas más inteligentes en este hilo dan ejemplos de refutaciones particulares o vuelcos de pruebas.

1) Lenguaje: hay un número considerable de idiomas utilizados en disciplinas matemáticas. Puede ver ejemplos específicos de enfrentamientos lingüísticos a medida que los resultados teóricos profundos de la física (teoría de cuerdas) entran en la corriente principal de la física y las matemáticas a través de modelos de análisis, y la topología siempre está plagada de nomenclatura idiosincrásica hasta que los topólogos resuelven sus diferencias.

2) Las pruebas matemáticas pasan por varias etapas de presentación, análisis y aceptación en más y más foros públicos. Los comentarios de su sociedad inmediata, mentores o colegas, ayudan a refinar la presentación de la prueba antes de ser presentada en un coloquio o conferencia, o eventualmente ser publicada después de un proceso de revisión por pares.

3) Las pruebas matemáticas que son construidas por computadoras (mapa de 4 colores, por ejemplo) tienen dificultades con la aceptación, en parte porque el proceso de razonamiento es a menudo opaco y en parte debido al gran volumen de material para revisar. El equipo no forma parte del proceso social; los matemáticos que han conducido este equipo a prueba son los que tienen que justificar el resultado final.

4) Aprendizaje: los matemáticos realizan aprendizajes dentro del sistema universitario para aprender los idiomas y los procesos de las pruebas. Aquí es donde ocurre la socialización para garantizar que los matemáticos se ajusten a lo que se requiere para las mejores prácticas en la presentación de pruebas.

Me sorprende que nadie haya mencionado cuál es probablemente el ejemplo más claro de un falso “teorema” matemático, que es bastante conocido en los círculos matemáticos, pero probablemente no para el público en general. Nada de lo escrito a continuación es original; Lo he copiado y pegado (con ediciones menores para gramática y ortografía) de una respuesta wiki comunitaria en Stack Exchange. [1]

El problema Busemann-Petty (planteada en 1956) tiene una historia interesante. Se hace la pregunta siguiente: if [matemáticas] K [/ math] y [matemáticas] L [/ math] son ​​dos cuerpos convexos origen-simétrica en [matemáticas] \ mathbb {R} ^ n [/ math] tal que el volumen de cada sección del hiperplano central de [math] K [/ math] es menor que el volumen de la sección correspondiente de [math] L [/ math]:

[Matemáticas] \ text {Vol} \, _ {n-1} (K \ cap \ xi ^ \ perp) \ leq \ text {Vol} \, _ {n-1} (L \ cap \ xi ^ \ perp ) [/ math] para todos [matemáticas] \ xi \ in S ^ {n-1}, [/ matemáticas]

¿se deduce que el volumen de [matemáticas] K [/ matemáticas] es menor que el volumen de [matemáticas] L [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ text {Vol} \, _ n (K) \ leq \ text {Vol} \, _ n (L) [/ math]?

reacción visceral muchos matemáticos a la pregunta es que la respuesta debe ser afirmativa. De hecho, esta creencia no está exenta de justificación matemática. El teorema de singularidad de Minkowski establece que un cuerpo estelar simétrico de origen en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] está completamente determinado por los volúmenes de sus secciones centrales de hiperplano, por lo que estos volúmenes de secciones centrales de hiperplano contienen una gran cantidad de información acerca de los cuerpos. Por lo tanto, la conjetura de que el volumen de [matemática] K [/ matemática] debe ser menor que el volumen de [matemática] L [/ matemática] se hizo ampliamente aceptada, aunque el problema permaneció formalmente sin resolver.

En 1975, sin embargo, todos fueron tomados por sorpresa cuando Larman y Rogers produjeron un contraejemplo que mostraba que la afirmación es falsa en las dimensiones [matemáticas] n \ geq 12 [/ matemáticas]. Este primer contraejemplo fue bastante complicado, pero atrajo la atención sobre la cuestión. En 1986, Keith Ball encontró un contraejemplo más simple al demostrar que la sección de hiperplano máximo del cubo de la unidad es [matemática] 2 \ sqrt {2} [/ matemática] independientemente del número de dimensiones. Una consecuencia de esto es que el cubo de la unidad centrada y una bola centrada de radio adecuado proporcionan un contraejemplo cuando [math] n \ geq 10 [/ math]. Algún tiempo después, Giannopoulos y Bourgain dieron independientemente contraejemplos para [matemáticas] n \ geq 7 [/ matemáticas] y, a continuación Papadimitrakis y Gardner dieron independientemente contraejemplos para [matemáticas] n = 5,6 [/ matemáticas].

En 1992, solo los casos tridimensionales y cuádruples del problema de Busemann-Petty quedaron sin resolver, ya que la respuesta es trivialmente afirmativa en dos dimensiones. Alrededor de este tiempo, la teoría se había desarrollado conectando el problema con la noción de un “cuerpo de intersección”. Lutwak demostró que si el cuerpo con secciones más pequeñas es un cuerpo de intersección, entonces sigue la conclusión del problema de Busemann-Petty. El trabajo posterior de Grinberg, Rivin, Gardner y Zhang fortaleció la conexión y estableció que el problema de Busemann-Petty tiene una respuesta afirmativa en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] si todos los cuerpos convexos simétricos de origen en [ math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] es un cuerpo de intersección. Sin embargo, la cuestión de si un cuerpo es un cuerpo de intersección está estrechamente relacionado con la positividad de la transformación de radón esférica inversa, que se mantuvo imperfectamente entendida en ese momento.

En 1994, Richard Gardner utilizó métodos geométricos para invertir la transformación esférica del radón en tres dimensiones y finalmente demostrar que el problema tiene una respuesta afirmativa en tres dimensiones. En este punto, el nuevo resultado fue realmente tratado como algo sorprendente, ya que todos los resultados hasta ese momento había sido negativa. Luego, más tarde en 1994, Gaoyong Zhang publicó un artículo (en Annals of Mathematics) anunciando la pieza final del rompecabezas. Había logrado demostrar que el cubo de la unidad en [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] no es un cuerpo de intersección. Por lo tanto, el problema tiene una respuesta negativa cuando [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas].

Durante tres años, todo el mundo cree que el problema había sido resuelto. Pero en 1997, Alexander Koldobsky (que estaba trabajando en problemas completamente diferentes) trastornó el carrito de manzanas. Al encontrar un nuevo enfoque analítico de Fourier para los cuerpos convexos, estableció una caracterización analítica de Fourier muy conveniente de los cuerpos de intersección. Usando este resultado, demostró que el cubo de la unidad en [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] es un cuerpo de intersección, lo que contradice la afirmación anterior de Zhang. Como el documento de Zhang era incorrecto, el problema de Busemann-Petty fue reabierto.

Después de enterarse del nuevo resultado, Zhang demostró rápidamente que, de hecho, cada cuerpo convexo simétrico de origen en [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] es un cuerpo de intersección. Por lo tanto, el problema de Busemann-Petty tiene una respuesta afirmativa en [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math], lo contrario de lo que había afirmado anteriormente.

Irónicamente, este documento más tarde también fue publicado en los Anales. ¡Por lo tanto, Zhang puede ser la única persona que ha publicado en una revista tan prestigiosa pruebas de [math] P [/ math] y [math] \ neg P [/ math]!

Notas al pie

[1] ¿Resultados matemáticos ampliamente aceptados que luego se mostraron incorrectos?

Como han dicho otras respuestas, los matemáticos no cambian de opinión sobre las cosas que han sido probadas. Una prueba es una prueba.

Sin embargo, los matemáticos proceden con la amplia creencia de que es probable que algo sea cierto, y a veces descubren que están equivocados. Estas se llaman “conjeturas” en lugar de “teoremas”; no se denomina “teorema” hasta que se pruebe. (Ocasionalmente, se encuentra que las pruebas son defectuosas, pero no puedo pensar en un caso de un teorema importante en el que una prueba ampliamente aceptada no se pueda resolver).

A menudo, descubren algo importante para refutar una conjetura. Ejemplos incluyen:

• Se creía ampliamente que el Quinto Postulado de Euclides era demostrable a partir de los otros cuatro. No solo no es ese el caso, sino que también puede sustituir otros postulados y obtener geometrías no euclidianas interesantes.
• Las soluciones de forma cerrada para la ecuación quíntica se buscaron ampliamente hasta que Niels Abel demostró que no se podía hacer (y ayudó a iniciar la teoría de campo en el proceso)
• La hipótesis del continuo no resulta demostrable ni refutable.
• El teorema de incompletitud prueba que las matemáticas no pueden probarse como consistentes.

El libro Pruebas y refutaciones de Imre Lakatos es instructivo a este respecto. No requiere muchos antecedentes y da una idea de cómo a veces se ha descubierto que los teoremas aparentes son falsos, y cómo las matemáticas han evolucionado como resultado.

Hay un ejemplo bien conocido en la teoría de los campos de vectores polinómicos en el plano, que es el tema de uno de los problemas de Hilbert. Dulac demostró en 1923 que un campo vectorial polinomial en el lugar solo podía tener un número finito de ciclos límite. Ilyashenko encontró un error en su prueba en 1981. El teorema era realmente correcto, pero un lema que Dulac usó era falso. Ilyashenko y Ecalle dieron pruebas correctas en 1991-92. El lema incorrecto se describe en la p. 11 del libro de Ilyashenko “Teoremas de finitud para los ciclos límite”, que puede encontrar en la web.

Mientras que la ciencia se basa en observaciones y nuevas observaciones pueden refutar mayores “teorías”, esto no es posible en las matemáticas.

Las matemáticas se basa en axiomas y reglas de la lógica para obtener los teoremas. Nunca sucede que “observaciones más nuevas” puedan refutar teoremas más antiguos.

Lo que es posible es (a) que una conjetura se asuma como verdadera pero luego se demuestre que es falsa o (b) alguna falla en la prueba de un teorema que luego se arregla o el “teorema” no era un teorema en absoluto.

Para (a) eche un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Disproved_conjectures para obtener algunos de estos casos.

Para (b) Wiles demostró el último teorema de Fermat pero la prueba era defectuoso y se corrige pronto. Detalles aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem#Wiles.27s_general_proof

Algunos aquí han dicho que “una prueba es siempre una prueba”, pero si miramos durante un período de tiempo suficientemente largo, los estándares de rigor cambian de manera que las pruebas que alguna vez se consideraron rigurosas pueden dejar de serlo. Sin embargo, si son pruebas de resultados que las personas consideran importantes, las personas generalmente encuentran una manera de guardar los resultados reformulándolos o cambiando las pruebas.

Por ejemplo: una vez que el enfoque axiomático de Euclides a la geometría se consideraba el pináculo del rigor. Era el pináculo del rigor en ese momento. Pero a principios del siglo XX, los lógicos como Hilbert y Tarski examinaron los axiomas de Euclides usando estándares modernos de rigor y los encontraron querer. Permítanme citar la página Niza tienen todos triángulos isósceles por un autor cuyo nombre estoy teniendo problemas para encontrar:

La gran síntesis de Euclides de la geometría griega, Los Elementos , fue considerada durante siglos como un modelo de razonamiento axiomático abstracto, pero en el siglo XIX un examen minucioso de los fundamentos de las matemáticas condujo a la comprensión de que la estructura axiomática de Euclides es bastante deficiente en muchos aspectos. . En particular, nunca define claramente algunos conceptos fundamentales importantes como “intermediación” y “continuidad”. En retrospectiva, está claro que la geometría de Euclides, en lugar de proporcionar pruebas rigurosas de conceptos abstractos sugeridos por figuras dibujadas a grandes rasgos, en realidad proporcionó pruebas intuitivas aproximadas basadas en figuras dibujadas con precisión.

Un ejemplo bien conocido de los errores lógicos en que los métodos de Euclides son vulnerables (o al menos sería vulnerable si no hace “trampa” por dejarse guiar por figuras dibujadas con precisión) es la “prueba” de que todos los triángulos son isósceles.

Ver Are All Triangles Isosceles para esta “prueba”. Para arreglar el sistema de Euclides de una manera que elimine esta prueba falsa, necesitamos introducir un concepto de un punto en una línea que se encuentra entre otros dos, y necesitamos introducir algunos axiomas sobre la intermediación.

Hilbert dio una axiomatización moderna de la geometría que puedes ver en Wikipedia, y Tarski dio una lógica más simple que puedes ver aquí.
Los axiomas de Hilbert involucran lógica de segundo orden (o teoría de conjuntos) y axiomas sobre la continuidad, mientras que Tarski usa solo lógica de primer orden y no axiomas sobre la continuidad.

Por supuesto, dado que Euclides era inteligente, no dijo teoremas tontos como “todos los triángulos son isósceles”. Lo que aprendimos gracias a Hilbert y Tarski no fue que algunos de los resultados de Euclides estaban equivocados, sino que algunos de sus métodos estaban equivocados … o, hablando más caritativamente, podrían mejorarse.

Creo que hay muchos otros ejemplos de esto. Y como señaló Jonah Sinick, el libro Proofs and Refutations de Lakatos tiene ejemplos de cómo algunas de las primeras declaraciones y pruebas de la fórmula de Euler eran inadecuadas y debían repararse.

Los matemáticos aman la certeza, por lo que a menudo pretendemos que nuestra asignatura es perfecta y nunca necesita ser reparada. Pero es producto de matemáticos, que son secretamente humanos al igual que otras personas. Así que, mirando hacia atrás en un trabajo anterior, a menudo vemos cómo podemos hacer mejor ahora. Y eso continuará en el futuro cuando las personas recuerden lo que estamos haciendo … a menos que, por supuesto, la civilización se derrumbe y las matemáticas terminen.

Esto no es exactamente un teorema, sino una dirección.

En un momento dado, los matemáticos pensaron que sería posible probar todas las afirmaciones verdaderas en matemáticas basadas en la lógica simbólica.

Alfred North Whitehead y Bertrand Russell hicieron grandes avances en esta dirección con el libro Principia Mathematica.

Entonces, Kurt Godel demostró que no era posible.

Me sorprende que nadie contestó con la siguiente (lo leí en pruebas y refutaciones Laktatos’)

Había un “teorema” “probado” por Cauchy de que el límite de secuencia convergente puntual de funciones continuas es continuo . No conozco los detalles, pero la prueba es obviamente incorrecta, y este es el contraejemplo que creo haber visto en el curso de cálculo:
Sea X = [0,1], f (n) (x) = x ^ n. Entonces fn es convergente puntual, como para x <1 lim f (n) (x) = 0, y lim f (n) (1) = 1. Entonces f (n) converge a f, f (x) = lim f (n) (x). ¡Pero esta función obviamente no es continua!

No conozco los detalles, pero hasta donde recuerdo Lakatos escribió que esta ‘prueba’ no fue cuestionada por un par de décadas.

Este hecho es bastante conocido hoy en día (que se necesita una convergencia uniforme para que algunas propiedades claras se conserven mediante límites, y la convergencia puntual podría no ser suficiente).

Nunca. Un teorema es solo un teorema si está probado. No es correcto más allá de cualquier duda razonable, pero está probado.

Es un concepto muy fuerte.

Antes de eso, si no está probado, se llama hipótesis o conjetura.