Incluso antes de preguntar sobre potencias fraccionarias (raíces cuadradas), debe preguntar sobre factores fraccionarios en un producto, que se encuentran con el mismo tipo de problema. Entonces [matemáticas] 3 \ veces \ frac {1} {2} = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} [/ matemáticas], pero ¿qué es [ matemáticas] \ frac {1} {2} \ veces \ frac {1} {2} [/ matemáticas]?
Las matemáticas a menudo implican extender o generalizar algo que ya sabes. Tenemos una buena imagen de lo que significa multiplicar números enteros, algo así como la suma repetida que mostraste. Podemos extenderlo fácilmente a cero, y con un poco de reflexión a los números negativos. Estamos limitados cuando nos extendemos porque todos los resultados del dominio que ya conocemos deben seguir siendo ciertos. Por lo general, eso es suficiente para determinar de manera única lo que sucede en la extensión, a pesar de que las ideas intuitivas de contar matrices o sumar repeticiones no se aplican.
Por lo tanto, no hay una forma intuitiva de desglosar [matemáticas] \ sqrt {3} [/ matemáticas] por adición, al igual que no hay una forma intuitiva de descomponer [matemáticas] (\ frac {1} {2}) ^ 2 [/ matemáticas ] por adición. Esa intuición particular se agota cuando ninguno de los factores en un producto es un número entero.
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¿Cómo lo hacen las computadoras? Sorprendentemente, adivinando y refinando su suposición. Se le dio el nombre de método de Newton, y es bastante fácil en el caso de las raíces cuadradas.
Encontrar [math] \ sqrt {a} [/ math] es lo mismo que resolver la ecuación [math] x ^ 2 – a = 0 [/ math]. Dejemos que [math] f (x) = x ^ 2 – a [/ math], entonces queremos encontrar la raíz positiva de [math] f (x) [/ math], es decir, para resolver [math] ] f (x) = 0 [/ matemática].
El método de Newton dice que si tiene una suposición [matemática] u [/ matemática] de la respuesta, puede obtener una mejor suposición [matemática] v [/ matemática] con la fórmula
[matemáticas] v = u – \ frac {f (u)} {f ‘(u)} [/ matemáticas]
No es demasiado difícil ver de dónde viene esto. No voy a dibujar, pero puedes. Imagine la gráfica de alguna función, e imagine un lugar donde cruza cero (el eje x) y luego un poco a la derecha de eso es [matemática] x = u [/ matemática], o el punto [matemática] (u, 0) [/ matemáticas]. Si subimos a la función desde ese punto, obtenemos el punto [math] (u, f (u)). [/ Math] Ahora imagine dibujar la línea tangente a la función en ese punto. Esa línea cruzará el eje [math] x [/ math] en algún lugar cerca del cruce por cero de [math] f [/ math]. Si [math] f [/ math] es casi lineal por ahí, te acercarás mucho, si [math] f [/ math] está muy ondulado, es posible que no lo hagas. De todos modos, llamemos al punto donde la tangente cruza el eje [matemática] x [/ matemática] [matemática] (v, 0) [/ matemática]. La pendiente de la tangente viene dada por la derivada de [matemática] f [/ matemática] en [matemática] u [/ matemática], [matemática] f ‘(u) [/ matemática].
Entonces sabemos la pendiente de la línea tangente [matemáticas] f ‘(u) [/ matemáticas] y dos puntos en la línea tangente, [matemáticas] (u, f (u)) [/ matemáticas] y [matemáticas] (v , 0) [/ matemáticas]. Así
[matemáticas] f ‘(u) = \ frac {0-f (u)} {vu} [/ matemáticas]
[matemáticas] v f ‘(u) – u f’ (u) = -f (u) [/ matemáticas]
[matemáticas] v = \ frac {u f ‘(u) – f (u)} {f’ (u)} [/ matemáticas]
[matemáticas] v = u – \ frac {f (u)} {f ‘(u)} [/ matemáticas]
El método de Newton solo dice repetir varias veces más hasta que obtenga una respuesta lo suficientemente cercana para sus propósitos. Una vez que tenga una [matemática] f (u) [/ matemática] que sea igual a cero, [matemática] v = u [/ matemática]; Tu respuesta no va a cambiar.
¿Qué tiene que ver todo esto con la raíz cuadrada? Apliquemos el método de Newton para calcular [math] \ sqrt {a} [/ math]. Tenemos [matemática] f (x) = x ^ 2-a [/ matemática], entonces [matemática] f ‘(x) = 2x [/ matemática].
[matemáticas] v = u – \ frac {u ^ 2-a} {2u} = u – \ frac {u} {2} + \ frac {a} {2u} [/ matemáticas]
[matemáticas] v = \ frac {1} {2} (u + \ frac {a} {u}) [/ matemáticas]
Entonces, el método de Newton determinó muy inteligentemente que si tiene una suposición [math] u [/ math] para [math] \ sqrt {a} [/ math], una mejor suposición es el promedio de [math] u [/ math] y [matemáticas] \ frac {a} {u} [/ matemáticas]. Tiene sentido cuando piensas en ello.
La forma obvia de implementar esto es ponerlo en un bucle y devolver el resultado después de que no cambie, o un número fijo de iteraciones. Por lo general, las personas que escriben funciones matemáticas se preocupan por la velocidad, por lo que en la práctica el ciclo se desenrolla y se eliminan las comprobaciones, por lo que después de las comprobaciones iniciales para a == 0 y a < 0 se obtiene (usando [matemática] a / 2 [/ matemáticas] como la suposición inicial):
#definir I u = .5 * (u + a / u)
u = a / 2; YO; YO; YO; YO; YO; YO; YO; YO; YO; volver u;
Cada I es una iteración del método de Newton; comenzamos desde una aproximación u y calculamos una nueva aproximación como el promedio de u y a/u , y le asignamos el resultado para que podamos iterar.
Un comentario pidió un ejemplo. Calculemos [math] \ sqrt {16} [/ math]. Tenemos [matemática] a = 16 [/ matemática], y una aproximación inicial [matemática] u = 16/2 = 8 [/ matemática]. Después de una iteración I , [matemáticas] u = .5 (8 + 16/8) = 5 [/ matemáticas]. Después de otra iteración, [matemáticas] u = .5 (5 + 16/5) = 4.1 [/ matemáticas]. Después de otro, [matemáticas] u = .5 (4.1 + 16 / 4.1) = 4.0012 [/ matemáticas]. Después de un intento más, obtenemos [math] 4.000000 [/ math] algo, luego después de otros 4 y doce ceros, y pronto 4 dentro de la representación de coma flotante de precisión doble de la mayoría de las computadoras.
Exactamente cuántas iteraciones necesita puede determinarse matemáticamente. Expresemos nuestra suposición [math] u [/ math] como [math] u = f \ sqrt {a} [/ math], entonces el factor [math] f [/ math] nos dice qué tan lejos estamos; buscamos [matemáticas] f = 1 [/ matemáticas]. Después de una iteración tenemos [matemáticas] v = \ frac {1} {2} (u + a / u) = \ frac {1} {2} (f \ sqrt {a} + \ frac {a} {f \ sqrt {a}}) = \ frac {a} {2f \ sqrt {a}} (f ^ 2 + 1) [/ math]. Si expresamos [matemática] v = g \ sqrt {a}, [/ matemática] entonces [matemática] g = \ frac {1} {2} (f + \ frac {1} {f}) [/ matemática]. Entonces, al igual que la iteración de raíz cuadrada en sí, nuestro nuevo factor de cercanía es el promedio del antiguo factor de cercanía y su recíproco. Si [matemáticas] f = 1 + \ epsilon [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ frac {1} {f} = \ frac {1} {1+ \ epsilon} = 1 – \ epsilon + \ epsilon ^ 2 + \ textbf {Order} (\ epsilon ^ 3) [/ math]. Ignorando los términos [matemática] \ epsilon ^ 3 [/ matemática]
[matemáticas] g = \ frac {1} {2} (1 + \ epsilon + 1 – \ epsilon + \ epsilon ^ 2) = 1 + \ frac {\ epsilon ^ 2} {2}. [/ math]
Lo que esto dice si sabemos que [math] u [/ math] tiene una precisión de [math] \ pm \ epsilon \ sqrt {a} [/ math], entonces nuestra próxima iteración [math] v [/ math] tiene una precisión de [matemáticas] \ pm \ frac {\ epsilon ^ 2} {2} \ sqrt {a}, [/ matemáticas] o por simplicidad [matemáticas] \ pm \ epsilon ^ 2 \ sqrt {a}. [/ matemáticas] Entonces, si sabemos [matemática] u [/ matemática] a un decimal, sabemos [matemática] v [/ matemática] a dos, luego la siguiente iteración a 4 luego 8 y luego 16, y muy rápidamente estamos en el límite de nuestra flotación números de puntos
Este análisis no responde realmente lo que sucede al principio cuando [math] \ epsilon \ gg 0 [/ math]. No habría importado si hubiéramos comenzado con una conjetura de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] a / 2 [/ matemáticas]; de cualquier manera nuestra próxima suposición sería [matemáticas] \ frac {1} {2} (2 + \ frac {a} {2}). [/ matemáticas] Una de [matemáticas] u = \ frac {a} {2} [/ math] o [math] u = 2 [/ math] da como resultado [math] f = \ frac {u} {\ sqrt {a}} [/ math] de modo que [math] 0 \ lt f \ le 1 [/matemáticas]. En el peor de los casos, [math] | \ epsilon | [/ math] está cerca de 1. Realmente no puede ignorar [math] \ epsilon ^ 3 [/ math] aquí, pero si lo hizo [math] \ frac {\ épsilon ^ 2} {2} = .25. [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] \ epsilon_1 = \ frac {\ epsilon_0 ^ 2} {2}, [/ matemáticas] [matemáticas] \ epsilon_2 = \ frac {\ epsilon_1 ^ 2} {2} = \ frac {\ epsilon_0 ^ 4} { 8}, [/ math] [math] \ epsilon_3 = \ frac {\ epsilon_0 ^ 8} {128} [/ math]. En general, [math] \ epsilon_n = \ frac {\ epsilon_0 ^ {(2 ^ n)}} {2 ^ {(2 ^ n-1)}}. [/ Math]
Peor caso inicial [math] \ epsilon_0 = 1 [/ math]. El número de precisión doble más pequeño es alrededor de [matemáticas] 10 ^ {- 4392} [/ matemáticas]. Entonces, queremos [math] n [/ math] iteraciones tales que [math] \ frac {1} {2 ^ {(2 ^ n-1)}} <10 ^ {- 4392} [/ math]. Resolviendo la igualdad, obtenemos [matemáticas] – (2 ^ n-1) \ log 2 = -4392, 2 ^ n = 1 + \ frac {4392} {\ log 2} [/ matemáticas], o [matemáticas] n = \ log_2 (1 + \ frac {4392} {\ log_ {10} 2}) \ aprox 13.8 [/ math]. Entonces, en el peor de los casos, 14 iteraciones deberían hacerlo. El número verdadero es probablemente menor que eso.
En cuanto a lo que sucede cuando las computadoras se aproximan, a veces es importante, la mayoría de las veces no. Recuerdo lo frustrado y decepcionado que estaba como programador principiante de BASIC cuando a veces las cosas que tenían buenas respuestas enteras salían como 4.9999998. La verdad es que solo una fracción infinitesimal de los números reales tiene una representación exacta como un valor de coma flotante de precisión doble de 64 bits; todo lo demás nos aproximamos cuando los representamos por un número de coma flotante en una computadora. Entonces, las computadoras a menudo solo se aproximan. Cuando es importante, podemos hacer un seguimiento de cuán lejos estarán las aproximaciones, o utilizar técnicas de precisión arbitrarias para obtener respuestas más precisas. La mayoría de las veces no importa.
