Deje que [math] X [/ math] sea un espacio topológico. Decir que [math] X [/ math] se genera de forma compacta es equivalente a decir que un subconjunto [math] U \ subseteq X [/ math] está abierto si y solo si [math] K \ cap U [/ math] es abierto para cualquier subespacio compacto [matemático] K \ subseteq U [/ matemático]. En otras palabras, una topología se genera de manera compacta si y solo si es la topología más fina (“tiene los conjuntos más abiertos”) compatible con sus subconjuntos compactos.
¿No es lo suficientemente “laico” para usted? Los subespacios compactos de un espacio topológico son los subespacios que son “pequeños topológicos” en cierto sentido. En el espacio euclidiano, esto es lo mismo que “cerrado y acotado” (por el teorema de Heine-Borel), es decir, “contiene sus bordes definidos y no tiene una extensión infinita”. Un espacio generado de forma compacta es, aproximadamente, uno cuya topología está determinada por sus subespacios compactos. Por lo tanto, no hay negocios extra extraños que extrañaría al considerar solo subespacios compactos.
Nos preocupamos por los espacios generados de forma compacta porque son una clase de espacios que se pueden razonar de manera coherente en su conjunto. Si [math] X, Y [/ math] son espacios topológicos, entonces el producto cartesiano [math] X \ times Y [/ math] consiste en pares de puntos [math] (x, y) [/ math] con [math ] x \ en X, y \ en Y [/ math] también es un espacio topológico. Lo mismo para el espacio [math] Map (X, Y) [/ math] de mapas continuos [math] X \ to Y [/ math]. Pero algunos de los hechos intuitivos que esperaríamos no serán ciertos para ciertos espacios topológicos. Por ejemplo, si [matemática] A, B, C [/ matemática] son conjuntos, entonces una función [matemática] A \ veces B \ a C [/ matemática] es lo mismo que una función [matemática] A \ a Hom ( B, C) [/ matemáticas]. (En una dirección: dada [matemática] f: A \ veces B \ a C [/ matemática], tenemos la función [matemática] A \ a Hom (B, C) [/ matemática] envía [matemática] a \ en A [/ math] a la función que envía [math] b \ mapsto f (a, c) [/ math]. Esto es lo que los programadores funcionales llaman sensiblemente “aplicación parcial”.) Pero esto no será cierto en la categoría de espacios topológicos y mapas continuos. Restringir a la categoría de espacios generados de forma compacta soluciona el problema.
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Advertencia: debe modificar ligeramente la construcción del producto cartesiano (reemplazándolo con el “producto Kelley”) en la categoría de espacios generados de forma compacta.
Referencia:
El artículo original sobre el tema es una categoría conveniente de espacios topológicos de Norman Steenrod.
