Se dice que una función con más de un argumento es multilínea si es lineal en cada argumento. Usted demuestra que es multilineal al mostrar que es lineal en cada argumento.
Siguiente pregunta: ¿qué significa ser lineal ? Eso significa que conserva combinaciones lineales.
Siguiente pregunta: ¿qué es una combinación lineal ? Ahora nos estamos poniendo manos a la obra.
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Una combinación lineal de cosas es una suma de múltiplos de ellas. Por ejemplo, si las cosas son x, y y z, entonces 3 x + 2 y +5 z es una combinación lineal de x, y y z. Los coeficientes (como 3, 2 y 5 en el ejemplo) generalmente están restringidos a algún campo, típicamente el campo R de números reales, pero a veces algún otro campo, como el campo C de números complejos.
Una función f de un argumento conserva combinaciones lineales cuando lo aplica a una combinación lineal de cosas, entonces siempre obtiene la misma combinación lineal de f aplicada a esas cosas. Entonces, por ejemplo, f (3 x + 2 y + 5 z ) = 3 f ( x ) + 2 f ( y ) + 5 f ( z ). La preservación de combinaciones lineales se puede reducir a dos requisitos más simples
- f conserva múltiplos: f ( nx ) = nf ( x ), donde n es cualquier elemento del campo de coeficientes, y
- f conserva la suma: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ).
Ahora considere una función f con más de un argumento. Puede usar la multilinealidad para ayudar a evaluarla en combinaciones lineales. Toma esto por ejemplo,
[matemáticas] f (3x + 2y, yz, 5x + z) [/ matemáticas]
Puede usar la linealidad en el primer argumento para reescribirlo como
[matemáticas] 3f (x, yz, 5x + z) + 2f (y, yz, 5x + z) [/ matemáticas]
luego use la linealidad en el segundo argumento para reescribir eso como
[matemáticas] 3f (x, y, 5x + z) -3f (y, z, 5x + z) [/ matemáticas]
[matemáticas] + \; 2f (x, y, 5x + z) -2f (y, z, 5x + z) [/ matemáticas]
y finalmente linealidad en el tercer argumento para reescribir eso como
[matemáticas] 15f (x, y, x) + 3f (x, y, z) [/ matemáticas]
[matemáticas] – \; 15f (y, z, x) -3f (y, z, z) [/ matemáticas]
[matemáticas] + \; 10f (x, y, x) + 2f (x, y, z) [/ matemáticas]
[matemáticas] – \; 10f (y, z, x) -2f (y, z, z) [/ matemáticas]
(La x, y y z pueden ser cualquier cosa sobre la que se pueda evaluar f . Pueden ser funciones, vectores, integrales o series, o lo que sea que esté tomando combinaciones lineales).
Las funciones multilineales surgen mucho en las matemáticas y las ciencias, tanto que se inventaron los tensores como una forma de simplificar la contabilidad que los acompaña.
