Yo diría que no son equivalentes. Considere el vector (por la declaración 1) de “9.81 metros por segundo al cuadrado”. Está claro que eso combina una magnitud (9.81 metros por segundo al cuadrado) y una dirección (hacia abajo). Así es, por la declaración (1) un vector. ¿Pero cuál es la distancia? ¿Cuál es el signo o signos? Esos no entran en juego, por lo que (enunciado 2) no describe adecuadamente ese vector.
Esos son los tipos de definiciones para un “vector” que esperaría ver en una clase de física a nivel universitario de primer año, donde generalmente son apropiadas, pero no del todo precisas. En el álgebra lineal (que es todo un campo de las matemáticas sobre vectores y conceptos relacionados), la definición de un vector es, dependiendo de su punto de vista, simultáneamente más amplia y precisa, o inexistente.
Un vector es un elemento de un espacio vectorial.
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Un espacio vectorial es un conjunto de vectores, un campo de escalares y dos operaciones: suma de vectores (+) y multiplicación escalar, que siguen las siguientes reglas:
- Los vectores y el operador de suma de vectores forman un grupo abeliano. Específicamente, si [math] \ vec {a}, \ vec {b}, \ vec {c} [/ math] son vectores arbitrarios, entonces
- [math] \ vec {a} + \ vec {b} [/ math] es un vector en el espacio vectorial.
- [matemáticas] \ vec {a} + \ vec {b} = \ vec {b} + \ vec {a} [/ matemáticas]
- [matemáticas] (\ vec {a} + \ vec {b}) + \ vec {c} = \ vec {a} + (\ vec {b} + \ vec {c}) [/ matemáticas]
- Existe un vector único [math] \ vec {0} [/ math] tal que [math] \ vec {0} + \ vec {a} = \ vec {a}, \ dots [/ math]
- Existe un vector [math] \ vec {-a} [/ math] tal que [math] \ vec {-a} + \ vec {a} = \ vec {a} + \ vec {-a} = \ vec {0} [/ matemáticas]
- La multiplicación escalar combina un vector [math] \ vec {a} [/ math] y un escalar [math] c [/ math] de un campo de acuerdo con las siguientes reglas:
- [matemáticas] 1 \ vec {a} = \ vec {a} [/ matemáticas]
- [matemáticas] (a + b) \ vec {c} = a \ vec {c} + b \ vec {c} [/ matemáticas]
- [matemáticas] a (\ vec {b} + \ vec {c}) = a \ vec {b} + a \ vec {c} [/ matemáticas]
- [matemáticas] 0 \ vec {a} = \ vec {0} [/ matemáticas]
Puedo estar olvidando una regla o dos, pero eso es básicamente todo. ¿Qué es un vector? Todo depende del contexto del espacio vectorial con el que está trabajando.
Usando este marco, es posible definir una forma sensata de agregar [matemática] 9.81 m / s ^ 2 [/ matemática] hacia abajo y [matemática] 12 m / s ^ 2 [/ matemática] noroeste, para que pueda tratar tales cosas como vectores (en el espacio vectorial apropiado). Pero también hay muchas otras cosas que califican. El conjunto de funciones continuas en el intervalo [matemáticas] [a, b] [/ matemáticas], por ejemplo, es un espacio vectorial. Si multiplica cualquiera de esas funciones por una constante, obtendrá otra de esas funciones. Si agrega dos de ellos, obtiene otro, etc.
¿Dónde entran en juego las dimensiones en este modelo?
Si me das un conjunto de vectores, [math] \ {\ vec {a_1}, \ dots, \ vec {a_n} \} [/ math], puedo hablar sobre el alcance de este conjunto: el conjunto de todos los vectores [matemáticas] \ vec {a} = a_1 \ vec {a_1} + \ cdots + a_n \ vec {a_n} [/ matemáticas]. Por ejemplo, si se me dan los vectores (en el espacio vectorial de funciones continuas) [matemáticas] {1, x, x ^ 2, \ puntos} [/ matemáticas], el lapso de ese conjunto son todas las funciones polinómicas. No todas las funciones en ese espacio vectorial, porque [matemática] e ^ x [/ matemática] también es continua. Si me dieran el conjunto de vectores (en el espacio vectorial de flechas con dirección y magnitud en un plano euclidiano) [matemática] \ {\ vec {23 noreste} \} [/ matemática] entonces el lapso de ese conjunto es todos los vectores en la dirección noreste (o suroeste). Si tuviera que darme el conjunto de vectores [matemática] \ {1 + i, 1-i \} [/ matemática] en el espacio vectorial de números complejos, entonces el lapso de ese conjunto sería todos los números complejos – para cualquier número complejo [matemática] z = a_1 (1 + i) + a_2 (i-1) [/ matemática]. El conjunto de números complejos [matemática] \ {2i, 5i-1, 1–5i \} [/ matemática] también abarca todo el espacio vectorial. En este caso, diríamos que ese conjunto abarca todo el espacio vectorial. Como muestran mis ejemplos, el conjunto de vectores con los que hablamos sobre un lapso no tiene que ser finito.
También podemos hablar de un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial. Un conjunto de vectores [math] \ {\ vec {a_1}, \ dots \ vec {a_n} \} [/ math] es linealmente independiente si [math] \ vec {0} = \ sum a_i \ vec {a_i} [ / math] solo para la solución trivial [math] a_i = 0 [/ math]. De los ejemplos que di en el párrafo anterior, todos menos el último son linealmente independientes.
Si un conjunto de vectores abarca un espacio y es linealmente independiente, entonces cada vector en ese espacio puede expresarse como una combinación lineal de elementos en ese conjunto de una manera única, y llamamos a ese conjunto una base para ese conjunto. Por ejemplo, en el espacio vectorial de flechas con dirección en el plano euclidiano, el conjunto [matemáticas] \ {1 norte, 2 oeste \} [/ matemáticas], que sería una base para el espacio vectorial. Pero también lo haría [matemáticas] \ {2 noroeste, 3 sur \} [/ matemáticas] o [matemáticas] \ {0.001 sureste, 10000 norte noroeste \} [/ matemáticas], o un número infinito de opciones que podría hacer. Pero todas estas bases tienen una cosa en común: todas contienen exactamente 2 vectores.
En general, para cualquier espacio vectorial dado, cualquier conjunto básico de ese espacio vectorial tendrá el mismo tamaño que cualquier otro conjunto básico de ese espacio vectorial. El tamaño de una base establecida para un espacio vectorial se llama dimensión del espacio vectorial.
En las clases introductorias de física en las que se habla de un vector como “dirección y magnitud”, solo se trata de espacios internos de productos de 2 y 3 dimensiones sobre el campo de los reales, donde un espacio interno de productos es un espacio vectorial con un operación adicional llamada “producto interno”, que toma dos vectores y los combina para formar un número real (en algunos casos se llama “producto punto”). También presentarán el “producto cruzado”, que solo puede definirse en espacios vectoriales tridimensionales (algunos dicen que también puede definirse en espacios vectoriales tridimensionales).
