Cuando especificamos dos números por sus representaciones numéricas y preguntamos si un número tiene un valor mayor que otro, antes que nada debemos entender (implícita o explícitamente) 1) de qué tipo de números estamos hablando, 2) cuáles son válidos representaciones de tales números, y 3) qué (si algo) significa decir que un número de ese tipo es mayor que otro.
Digamos que los números de los que estamos hablando son enteros. Una representación numérica válida de un entero es una secuencia finita de dígitos. Ahora, vemos de inmediato que 1 seguido de una secuencia infinita de 0s no es un entero válido, ni 9 es seguido por una secuencia infinita de 9s. Entonces, esas son representaciones sin sentido para enteros. Tampoco tienen sentido como representaciones de números reales o números complejos.
Entonces, ¿para qué tipo de números podrían tener sentido esas representaciones? Bueno, supongamos que intentamos de alguna manera extender el significado habitual de las representaciones de enteros. Para enteros, 1 seguido de una secuencia finita de n 0s es el entero [matemático] 10 ^ n [/ matemático]. Del mismo modo, 9 seguido de una secuencia de ( n -1) 9s es el número entero [matemáticas] 10 ^ n-1 [/ matemáticas]. En ambos casos, ese número entero aumenta sin límite a medida que n se acerca al infinito. Entonces, de cualquier tipo de números de los que estamos hablando, si esas representaciones tienen sentido, los números deben incluir el infinito.
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Ahora, resulta que hay un tipo de sistema de números que incluye el infinito: los números reales extendidos. Son los números reales ordinarios extendidos para incluir los números + ∞ y -∞. Las operaciones aritméticas también se extienden para definir cómo las operaciones tratan con + ∞ y -∞, y la definición de mayor que también se extiende. Con estas extensiones, las dos representaciones representan el número + ∞ (algo análogo a cómo 0.999 … y 1 son representaciones del mismo número, uno). Entonces, la respuesta a la pregunta (en el sistema extendido de números reales) es no . Los dos números son iguales.
