Tengo un libro en mi estantería, Geometría, Topología y Física, de Nakamura. Aunque la física está en el título, es básicamente un libro de matemáticas. Para alguien que quiere profundizar en la teoría y las matemáticas en materia topológica, ese nivel probablemente sería útil. (No he superado más de un capítulo o dos).
PERO para tener una idea de lo que está sucediendo en las formas topológicas de la materia (aislantes topológicos, superconductores topológicos, sala cuántica fraccional, líquidos de centrifugación cuántica, …) solo hay algunos conceptos para entender realmente.
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Durante mucho tiempo no entendí cómo toda la equivalencia de la taza de café con donas podría tener algo que ver con los materiales y los diagramas de bandas. El punto del gif anterior es que ambos objetos tienen algo que no desaparece, un número que describe de manera única el estado de esa variedad.
Los materiales con espacios tienen un número para cada banda en el espacio de impulso que describe de manera única el estado. El número no se puede cambiar ni deformar fácilmente. Se llama el número de Chern , una integral alrededor de una zona de Brillouin de la Curvatura de Berry (una propiedad del diagrama de banda). Este número de Chern es siempre un número entero y toma valores distintos de cero en estados topológicos no triviales.
Siguiente concepto, bulto versus borde.
Los materiales, aunque son enormemente grandes en comparación con el tamaño de un átomo, no son infinitos. Aunque durante muchos, muchos años, los físicos solo observaron la mayor parte del material, finalmente la gente miró los bordes, y fue entonces cuando comenzaron a suceder cosas interesantes.
Los bordes imponen condiciones de contorno. Lo que aísla en el centro, puede conducir en el límite. Los estados de borde se ven en una variedad de otros estados topológicos de la materia, como en el modelo AKLT.
En mis materiales investigados, Quantum Spin Liquids, también podemos ver excitaciones topológicas. Sé que estos están presentes en los superconductores y la familia Quantum Hall Effect, pero actualmente no sé si están presentes en los aisladores topológicos.
Figura de un antiguo compañero de laboratorio mío que obtuvo el caleidoscopio PRA. Solitones cuánticos con interacciones emergentes en un modelo de átomos fríos en la red triangular.
Estos fueron estudiados tanto a través de los números y el estudio de la homotopía. La homotopía se trata de encontrar las clases de cosas que son topológicamente invariantes.
Una última cosa que decir, el campo de la materia topológica ha explotado en la última década, pero los recursos para aprender el material apenas comienzan a ponerse al día. Eso nos deja a los estudiantes con un gran dolor de cabeza tratando de aprender algo que probablemente no sea del todo malo cuando finalmente encontremos el recurso correcto.
