Probablemente haya una mejor razón técnica, pero me gusta pensar en los vectores duales como “máquinas (lineales) para convertir vectores en números”, y en un nivel intuitivo, el gradiente es una máquina que, dada una dirección, te dice cuánto función está cambiando en esa dirección. Como sabemos que el gradiente es lineal y las direcciones son solo vectores (unidad), ciertamente parece coincidir exactamente con el criterio.
En un nivel más profundo, la razón por la cual el gradiente debería ser un vector dual directamente, en lugar de decir “es un vector, que cuando tomas el producto de puntos con un vector unitario, obtienes la tasa de cambio en esa dirección”, es que tener una idea de un “producto de puntos” significa que asume que está viviendo en un espacio con un producto interno. Eso está bien, pero la derivada direccional es la misma sin importar el producto interno (si lo hay) definido en su espacio. Entonces no puede ser un vector, tiene que ser un Covector.
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