Bien: debe usar el hecho de que el centro de masa de un anillo circular semicircular uniforme de radio [matemática] r [/ matemática] se encuentra a una distancia vertical de [matemática] \ dfrac {2r} {\ pi}. [/matemáticas]
colocar un eje en el centro.
Por simetría, la coordenada x del centro de masa es 0.
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[matemáticas] x_ {cm} = 0 [/ matemáticas]
La prueba se puede encontrar en este video:
Ahora debe hacer ciertas cosas para encontrar [math] y_ {cm} [/ math]
A una distancia vertical [math] y [/ math] del origen, imagine un disco infinitesimal con un grosor [math] \ displaystyle {dr} [/ math].
El área de ese disco infinitesimal es [math] \ displaystyle {dA = \ pi r \ mathrm {dr}} [/ math]. Descubramos que es masivo.
[matemáticas] \ displaystyle {\ implica \ mathrm {dm} = \ sigma \ mathrm {d} A = \ pi r \ mathrm {dr} \ times cr ^ {2} = \ pi c \ space r ^ 3 \ space \ mathrm {dr}} [/ math]
[math] y_ {r} [/ math] es la posición del centroide de ese anillo [math] dr [/ math] y es igual a [math] \ dfrac {2r} {\ pi} [/ math]
El centro de masa de todo el disco viene dado por esta integral: [matemática] \ displaystyle {\ frac {1} {M} \ int_ {0} ^ {R} y_ {r} \ mathrm {dm}} [/ math]
Existe una propiedad del centro de masa que el centro de masa de dos sistemas A y B se puede calcular si conoce sus masas totales y sus posiciones de centro de masas.
La expresión anterior proviene de qué hecho.
[matemáticas] \ displaystyle {y_ {cm, combinado} = \ frac {M_ {a} y_ {a} + M_ {b} y_ {b}} {M_ {a} + M_ {b}}} [/ matemática]
De manera similar, combina el centro de masas de estos anillos individuales y obtiene la posición del centro de masa de todo el disco.
[matemáticas] \ displaystyle {M = \ int_ {0} ^ {R} cr ^ 2 \ space \ pi r \ mathrm {dr} = \ frac {c \ pi R ^ {4}} {4}} [/ math ]
Ahora queda otra parte: –
[matemáticas] \ displaystyle {\ int_ {0} ^ {R} y_ {r} \ space \ mathrm {dm} = \ frac {2CR ^ {5}} {5}} [/ math]
Ahora solo divida esto entre [matemáticas] M = \ dfrac {c \ pi R ^ {4}} {4} [/ matemáticas] y obtendrá [matemáticas] \ displaystyle {y_ {cm} = \ frac {8R} {5 \ pi}} [/ matemáticas]
Dime si me he equivocado en alguna parte. Este fue un problema interesante.
