Estás siendo demasiado literal con tu interpretación de una derivada como fracción. Recuerde lo que realmente es una derivada parcial: [matemática] \ frac {\ parcial F} {\ parcial x} [/ matemática] es la derivada de [matemática] F (x, y) [/ matemática] con respecto a [matemática] x [/ math], con [math] y [/ math] mantenido constante. Piensa en el cociente de diferencia: estás haciendo un desplazamiento infinitesimal a lo largo de una ruta que está puramente en la dirección [matemática] x [/ matemática].
Ahora está preguntando acerca de [matemáticas] \ frac {\ partial F} {\ partial (r \ cos (\ theta))} [/ matemáticas] – no es irrazonable, pero pregúntese: ¿qué mantiene constante aquí? Ciertamente no [matemáticas] r [/ matemáticas] o [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] individualmente, ¿verdad?
La respuesta radica en el hecho de que debe variar [matemáticas] r [/ matemáticas] y [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] simultáneamente, de tal manera que [matemáticas] y = r \ sin (\ theta) [/ matemáticas] es constante. En otras palabras,
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[matemáticas] dy = \ sin (\ theta) dr + r \ cos (\ theta) d \ theta = 0 [/ matemáticas]
entonces el desplazamiento infinitesimal debe ocurrir a lo largo de algún camino (digamos, [math] r (\ theta) [/ math]) a lo largo del cual
[matemáticas] \ frac {dr} {d \ theta} = -r \ cot (\ theta) [/ matemáticas]
donde asumimos que [math] \ sin (\ theta) \ neq 0 [/ math] – si es así, entonces la ruta tendría que ser tal que [math] d \ theta = 0 [/ math] – es decir sería puramente radial.
Así que vamos a encontrar una manera de manejar esto que tiene sentido tanto en coordenadas cartesianas como en coordenadas polares (voy a ignorar [matemáticas] z [/ matemáticas]). Considere una función [matemática] F [/ matemática] de dos variables. No piense en las variables como cartesianas o polares o hiperbólicas o cualquier otra cosa; simplemente imagine un dominio 2D con montañas y valles que representen los valores de la función, sin dibujar “líneas de cuadrícula”.
Ahora elija un punto y llámelo [matemáticas] p [/ matemáticas]. Dibuje una curva a través de ese punto que llamaremos [math] \ gamma [/ math], y parametrice la curva con algún número [math] t [/ math] que denota en qué parte de la curva se encuentra – en [math] t = 0 [/ math], estás en el punto [math] p [/ math].
Ahora podemos hablar sobre la derivada de la función a lo largo de esta curva. Llamaremos a esta derivada [math] \ partial_ \ gamma F [/ math]. Tenga en cuenta que absolutamente * ninguno * de esto se basa en nuestra elección de sistemas de coordenadas.
Cuando queremos usar un conjunto específico de coordenadas, tenemos que
[matemáticas] \ partial_ \ gamma F = \ frac {\ partial F} {\ partial x} \ frac {dx} {dt} + \ frac {\ partial F} {\ partial y} \ frac {dy} {dt} [/matemáticas]
donde [math] \ frac {dx} {dt} [/ math] y [math] \ frac {dy} {dt} [/ math] están determinados por nuestra elección de [math] \ gamma [/ math]. Definamos [math] \ gamma [/ math] por el hecho de que a lo largo de él,
[matemáticas] x (t) = x_0 + t, y (t) = y_0 \ rightarrow \ frac {dx} {dt} = 1, \ frac {dy} {dt} = 0 [/ math]
En ese caso,
[math] \ partial_ \ gamma F = \ frac {\ partial F} {\ partial x} [/ math] es simplemente la derivada parcial familiar con respecto a [math] x [/ math].
Ahora intentemos diferentes coordenadas [matemáticas] (r, \ theta) [/ matemáticas]. Justo como antes,
[matemáticas] \ partial_ \ gamma F = \ frac {\ partial F} {\ partial r} \ frac {dr} {dt} + \ frac {\ partial F} {\ partial \ theta} \ frac {d \ theta} {dt} [/ math]
Hasta ahora no hemos hecho absolutamente nada diferente: solo hemos cambiado el nombre de las variables. Pero ahora consideramos la forma de la curva. Recordar que
[matemáticas] x = r \ cos (\ theta), y = r \ sin (\ theta) [/ matemáticas]
y
[matemáticas] r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, \ theta = atan (y / x) [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] \ frac {dr} {dt} = \ frac {x} {r} \ frac {dx} {dt} + \ frac {y} {r} \ frac {dy} {dt} = \ cos (\ theta) \ frac {dx} {dt} + \ sin (\ theta) \ frac {dy} {dt} [/ math]
y
[matemáticas] \ frac {d \ theta} {dt} = – \ frac {y} {x ^ 2} \ frac {1} {1+ (y / x) ^ 2} \ frac {dx} {dt} + \ frac {1} {x} \ frac {1} {1+ (y / x) ^ 2} \ frac {dy} {dt} = – \ frac {y} {r ^ 2} \ frac {dx} { dt} + \ frac {x} {r ^ 2} \ frac {dy} {dt} [/ math]
[matemáticas] = \ frac {- \ sin (\ theta)} {r} \ frac {dx} {dt} + \ frac {\ cos (\ theta)} {r} \ frac {dy} {dt} [/ matemáticas]
Uf. Por lo tanto, a lo largo de nuestra curva [math] \ gamma [/ math],
[matemáticas] \ frac {dr} {dt} = \ cos (\ theta) [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ frac {d \ theta} {dt} = – \ frac {\ sin (\ theta)} {r} [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] \ partial_ \ gamma = \ cos (\ theta) \ frac {\ partial F} {\ partial r} – \ frac {\ sin (\ theta)} {r} \ frac {\ partial F} {\ partial \ theta} [/ math].
Probablemente fue bastante doloroso, pero estaba destinado a ser un ejercicio para comprender que las derivadas de funciones se toman realmente a lo largo de curvas y, por lo tanto, son coordinadas independientes. Si elige un conjunto de coordenadas y luego selecciona una ruta tal que a lo largo de esa ruta, solo una de las coordenadas cambia, entonces está tomando la derivada parcial con respecto a esa coordenada. La transformación a un conjunto diferente de coordenadas está perfectamente bien, pero debe tener en cuenta cómo cambian las nuevas coordenadas a lo largo de su curva ya especificada .
Por complicado que parezca, la regla que resulta es bastante directa. Considere dos conjuntos de coordenadas: [matemática] (x, y) [/ matemática] y [matemática] (a, b) [/ matemática]. Queremos expresar la derivada parcial con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] en las coordenadas [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas], donde podemos escribir [matemáticas] a = a (x, y), b = b (x, y) [/ matemáticas].
Tenemos lo siguiente:
[matemáticas] \ frac {\ partial F} {\ partial x} = \ frac {\ partial F} {\ partial a} \ frac {\ partial a} {\ partial x} + \ frac {\ partial F} {\ parcial b} \ frac {\ partial b} {\ partial x} [/ math]
¿Te parece familiar? Es solo una variante de la regla de la cadena:
[matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial x} = \ frac {\ partial a} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial a} + \ frac {\ partial b} {\ partial x } \ frac {\ partial} {\ partial b} [/ math].
Una cosa más, solo para justificar y resumir el largo aliento de mi respuesta. Dada una curva parametrizada por [math] t [/ math],
[matemáticas] \ frac {\ partial F} {\ partial x} \ frac {dx} {dt} + \ frac {\ partial F} {\ partial y} \ frac {dy} {dt} = \ frac {\ partial F} {\ partial a} \ frac {da} {dt} + \ frac {\ partial F} {\ partial b} \ frac {db} {dt} [/ math]
Para cualquiera de las dos opciones de coordenadas [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] y [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas]. Elegir la derivada parcial con respecto a [matemáticas] b [/ matemáticas], por ejemplo, equivale a hacer la elección [matemáticas] a = a_0, b = b_0 + t \ rightarrow \ frac {da} {dt} = 0, \ frac {db} {dt} = 1 [/ matemática]. Esta derivada se puede transformar en el otro sistema de coordenadas escribiendo [matemáticas] x = x (a, b), y = y (a, b) [/ matemáticas] y observando que [matemáticas] \ frac {dx} {dt} = \ frac {\ partial x} {\ partial a} \ frac {da} {dt} + \ frac {\ partial x} {\ partial b} \ frac {db} {dt} [/ math].
