En realidad no tiene nada que ver con las ecuaciones de Maxwell. Es una consecuencia del teorema de Helmholtz del cálculo vectorial. Básicamente, establece que cualquier campo vectorial [math] \ mathbf {V} [/ math] que se desvanece lo suficientemente rápido hacia el infinito y cuyas primeras derivadas existen en todas partes se puede escribir como la suma de un gradiente (el componente sin rizos) y un rizo (el componente libre de divergencia),
[matemáticas] \ mathbf {V} = – \ nabla \ phi + \ nabla \ times \ mathbf {W} [/ math]
La función escalar [math] \ phi (\ mathbf {x}) [/ math] se llama potencial escalar y viene dada por la fórmula,
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[matemáticas] \ phi (\ mathbf {x}) = \ frac {1} {4 \ pi} \ int d ^ 3 \ mathbf {x} ‘\ \ frac {\ nabla \ cdot \ mathbf {V} (\ mathbf {x} ‘)} {| \ mathbf {x} – \ mathbf {x}’ |} [/ math]
La función vectorial [math] \ mathbf {W} (\ mathbf {x}) [/ math] es el potencial vectorial y viene dada por una fórmula similar,
[matemática] \ mathbf {W} (\ mathbf {x}) = \ frac {1} {4 \ pi} \ int d ^ 3 \ mathbf {x} ‘\ \ frac {\ nabla \ times \ mathbf {V} (\ mathbf {x} ‘)} {| \ mathbf {x} – \ mathbf {x}’ |} [/ math]
Entonces, para responder a su pregunta, si el rizo del campo vectorial existe en todas partes y desaparece más rápido que [math] O (| \ mathbf {x} | ^ {- 1}) [/ math] como [math] | \ mathbf { x} | \ rightarrow \ infty [/ math], entonces tiene un potencial vectorial único dado por la fórmula anterior.
¿Te has preguntado alguna vez por qué la forma diferencial de la ecuación de Maxwell se escribió en términos de divergencias y rizos? Es porque las ecuaciones de Maxwell se escribieron teniendo en cuenta la descomposición de Helmholtz. Nos dan los rizos y las divergencias de los campos eléctricos y magnéticos, y con esa información podemos usar las fórmulas anteriores para calcular esos campos para todos los puntos en el espacio.
La ley de Gauss para el magnetismo es particularmente simple: [math] \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 [/ math]. De la fórmula anterior para el potencial escalar, puede ver que esto implica que el potencial escalar del campo magnético siempre es cero y, por lo tanto, está completamente determinado por su potencial vectorial [math] \ mathbf {A} [/ math],
[math] \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} [/ math]
y podemos olvidarnos de la idea de un potencial escalar magnético, que es lo que hacen la mayoría de los libros de texto de física.
