¿Cuál es la conjetura de Hodge en términos simples?

http://www.claymath.org/sites/de …

es la descripción del problema del premio Clay, que es incomprensible.

Me parece que la siguiente pregunta, si pudiera responderla, le permitiría responder la pregunta de Hodge: considere los polinomios P ​​(x1, x2, …, xV) en las variables V, cuyos términos monomiales son de grado D. Su La misión es comprender las posibles topologías de las superficies P (x1, x2,…, xV) = 0.

Esta pregunta es mucho más comprensible para los estudiantes, pero también más general y más vaga que la de Hodge.

La única pregunta sobre el premio Clay que se ha resuelto hasta ahora (G.Perelman resolviendo la conjetura de Poincare) en realidad se resolvió de manera similar haciendo una pregunta más general. A saber, Perelman demostró la “conjetura de la geometrización de Thurston”, que era una pregunta más general, con mucho, que la pregunta original de Poincare, y podría verse como una tarea abierta para “comprender las posibles topologías de múltiples compactos tridimensionales sin límites”. W. Thurston logró producir una clasificación completa, y Perelman demostró que tenía razón. Luego, la pregunta de Poincare se resolvió instantáneamente como una consecuencia muy trivial y pequeña de esta comprensión mucho mayor. Bueno, mi pregunta ultrageneral anterior, es como la de Thurston, excepto que parece (al menos para mi ingenuo ojo) ser mucho más difícil. (Thurston de alguna manera pudo usar su intuición geométrica tridimensional para ayudarlo a pensar en su conjetura, pero ya no puede hacerlo porque estamos en dimensiones V). Pero me parece que tiene una relación con Hodge, del mismo tipo que Thurston aburrió a Poincare.

Me temo que esto puede no ser muy útil. . .

Keith Devlin escribió un libro en 2003 llamado The Millennium Problems que pretendía dar explicaciones simples de los Problemas del Milenio. (Amazon.com: The Millennium Problems: The Seven Greatest Puzzles matemáticos sin resolver de nuestro tiempo (9780465017300): Keith J. Devlin: Libros) Para seis de los siete, hizo un buen trabajo. . . pero al comienzo del capítulo sobre la conjetura de Hodge, admitió por adelantado que simplemente no había forma de explicar adecuadamente el problema en términos simples.

Hizo un esfuerzo, y te animo a que encuentres su libro si quieres leer su intento de explicar el problema. (No lo tengo a mano en este momento, y de todos modos no podría hacer un mejor trabajo que él.) Mi comprensión excepcionalmente limitada de la conjetura de Hodge es que es una forma de unificar álgebra, geometría, topología y cálculo a un nivel muy profundo.

Pero aparentemente este es el problema más difícil de resolver en algo como la experiencia y la intuición cotidianas.

Michael Freed lo prueba aquí: http://claymath.msri.org/hodgeco …

Y aquí: http://www.ma.utexas.edu/users/d …

Buena suerte.