Para la dimensión, primero necesitas la idea de un ‘espacio’. Un espacio es solo un conjunto de objetos / elementos / puntos con alguna ‘estructura’ que relaciona los elementos entre sí (estoy siendo informal aquí).
Ahora digamos que la estructura nos permite manipular elementos juntos para obtener otros elementos; por ejemplo, en un espacio vectorial puede agregar vectores juntos en varias combinaciones. Imagine que hay algún subconjunto [matemático] \ {v_1, v_2, .., v_n} [/ matemático] de elementos en nuestro espacio de tal manera que, utilizando la estructura dotada en el espacio, podamos generar cualquier otro elemento del espacio. El tamaño mínimo de este subconjunto se define como la dimensión del espacio.
Todo eso es muy abstracto, así que aquí hay un ejemplo.
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Considere el conjunto [math] \ mathbb {R} ^ 2 = \ {(a, b} | a, b \ in \ mathbb {R} [/ math]. Por sí mismo, es solo un conjunto de puntos, así que agreguemos alguna estructura: suma y multiplicación escalar.
Adición:
[matemáticas] (a, b) + (d, e) = (a + d, b + e) [/ matemáticas]
Multiplicación escalar:
[math] s (a, b) = (sa, sb) [/ math] (para algunos [math] s \ in \ mathbb {R} [/ math])
Ahora considere el siguiente subconjunto: [matemática] S = \ {v_1, v_2 \} [/ matemática], donde [matemática] v_1 = (1,0) [/ matemática] y [matemática] v_2 = (0,1) [ /matemáticas]. Ahora considere cualquier elemento abitrario [math] (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]; simplemente podríamos elegir escribir [matemáticas] (x, y) = xv_1 + yv_2 [/ matemáticas]; por lo tanto, podemos usar los elementos de [math] S [/ math] y la estructura que hemos puesto en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] para generar cada elemento de [math] \ mathbb {R } ^ 2 [/ matemáticas].
¿Podemos usar un subconjunto con menos elementos? No. Considere [math] T = \ {v1 \} [/ math], donde [math] v1 = (a, b) [/ math]; no podemos usar este elemento y la multiplicación escalar para crear el elemento [math] (a, -b) [/ math].
Por lo tanto, [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], con la estructura anterior, es bidimensional. Un análisis similar mostrará que [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] es [math] n [/ math] -dimensional.
Tenga en cuenta que si bien utilicé [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] como ejemplo, estos no son los únicos espacios en los que la dimensión tiene sentido; por ejemplo, las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales forman un espacio, y esto puede tener una dimensión infinita (necesitaríamos un subconjunto infinito para generar todo el espacio).
En conclusión, la dimensión de un espacio es solo el subconjunto más pequeño de un espacio tal que, utilizando la estructura del espacio, puede generar cualquier elemento en el espacio.
Ahora en volumen; aquí el tratamiento formal a través de la geometría diferencial y las formas diferenciales es demasiado técnico, por lo que daré una descripción un poco más intuitiva; Espero que otras personas de matemáticas en Quora no se enojen conmigo :).
Se puede pensar en el volumen como la “cantidad” de un espacio encerrado en una determinada región de ese espacio. Por ejemplo, en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] esta es área, como la contenida por los bordes de un rectángulo, y en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] esto volumen como se usa en todos los idiomas, como el contenido de las caras de un cuadro rectangular.
El rectángulo y el cuadro rectangular son puntos de partida importantes, porque es fácil determinar sus áreas y volúmenes. De hecho, podríamos usar rectángulos y cajas rectangulares para llenar espacios más complicados, y agregar las áreas / volúmenes de todos los rectángulos / cajas para aproximar el área / volumen de los espacios más complicados:
Observe cómo nos hacemos más precisos a medida que los rectángulos y cuadros individuales se hacen más pequeños y usamos más de ellos. Podemos hacer que las cajas sean arbitrariamente pequeñas y usarlas para hacer una recreación arbitrariamente precisa del espacio en cuestión.
Esto se llama suma de Riemann, y en el límite a medida que el número de cajas llega al infinito, el volumen sumado de las cajas se aproxima al volumen del espacio.
Esta es la integración del cálculo. Deje que [math] dxdydz [/ math] sea el volumen de una caja infinitesimalmente pequeña (imagine dx, dy y dz como la longitud, anchura y altura infinitamente pequeñas de la caja). Entonces [math] \ int_Vdxdydz [/ math] (esencialmente, la suma de todos estos cuadros en la región V) es el volumen de la región [math] V [/ math].
Espero que estas explicaciones sean útiles; Sé que la discusión del volumen deja un poco que desear, pero espero que te ayude a visualizar lo que significa.
