Comencemos de manera simple, luego agreguemos complejidad a medida que avanzamos.
Si solo hubiera 2 personas (A y B), solo habría 1 posible amistad (AB) y uniría a ambas personas. La única colección de amistad posible también cumple con los criterios.
Si solo hubiera 3 personas (A, B y C), habría 3 posibles amistades (AB, AC, BC) y 2 amistades se unirían a las 3 personas, al igual que las 3 amistades juntas. Las 4 colecciones de amistad posibles con al menos 2 amistades cumplen los criterios: (AB + BC), (AB + AC), (AC + BC) o (AB + AC + BC).
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Si solo hubiera 4 personas (A, B, C y D), habría 6 posibles amistades (AB, AC, AD, BC, BD y CD). Se necesitarían al menos 3 amistades para conectar a las 4 personas, y no necesariamente un grupo de 3 funcionaría. Por ejemplo, (AB + BC + AC) no conecta D. Pero cualquier cuarta amistad conectaría D al grupo y cumpliría con los criterios. Por lo tanto, las respuestas válidas incluyen 1 respuesta que consta de las 6 amistades, 6 respuestas con 5 amistades cada una, 15 con 4 amistades cada una y 16 válidas de las 20 colecciones totales de amistades con 3 amistades cada una. Entonces 38 de 42 posibles colecciones de amistad cumplen con los criterios.
Noté que el número de posibles amistades siempre es [matemática] F = \ sum \ limits_ {x = 1} ^ {n-1} x [/ matemática] donde [matemática] n [/ matemática] es el número de personas. Para [matemáticas] n = 5 [/ matemáticas] eso significaría [matemáticas] F = \ sum \ limits_ {x = 1} ^ 4 x = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 [/ matemáticas] posibles amistades. El número de amistades necesarias para unir a todas las personas es siempre [matemáticas] n-1 [/ matemáticas]. La mayoría de las amistades que puedes tener y que aún no logran unir a todas las personas es [matemáticas] \ sum \ limits_ {x = 1} ^ {n-2} x [/ matemáticas]. Esto sugiere que el número total de colecciones de amistad que siguen el patrón [matemáticas] \ sum \ limits_ {y = n-1} ^ F f (y) – g (y) [/ matemáticas] donde [matemáticas] f (y) [/ math] calcula el número de posibles colecciones de amistad con [math] y [/ math] amistades en ellas y [math] g (y) [/ math] calcula el número de colecciones de amistad que no unen a todas las personas pero tienen [matemáticas] y [/ matemáticas] amistades.
Tomó algunas cifras, pero parece que [matemáticas] f (y) = \ frac {F!} {Y! (Fy)!} [/ Matemáticas]. Esa es la única ecuación que pude encontrar que da las respuestas correctas para cada combinación (F, y) que hemos visto en los ejemplos anteriores, a saber:
[matemáticas] (F, y) = (1, 1) \ por lo tanto f (y) = \ frac {1!} {1! 0!} = \ frac {1} {0!} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] (F, y) = (3, 3) \ por lo tanto f (y) = \ frac {3!} {3! 0!} = \ frac {1} {0!} = 1 [/ matemáticas]
[matemática] (F, y) = (3, 2) \ por lo tanto f (y) = \ frac {3!} {2! 1!} = \ frac {3 \ times2} {2} = 3 [/ matemática]
[matemáticas] (F, y) = (6, 6) \ por lo tanto f (y) = \ frac {6!} {6! 0!} = \ frac {1} {0!} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] (F, y) = (6, 5) \ por lo tanto f (y) = \ frac {6!} {5! 1!} = \ frac {6} {1} = 6 [/ matemáticas]
[matemáticas] (F, y) = (6, 4) \ por lo tanto f (y) = \ frac {6!} {4! 2!} = \ frac {6 \ times 5} {2} = 15 [/ matemáticas ]
[matemáticas] (F, y) = (6, 3) \ por lo tanto f (y) = \ frac {6!} {3! 3!} [/ matemáticas]
[matemáticas] f (y) = \ frac {6 \ veces 5 \ veces 4} {3 \ veces 2} = \ frac {5 \ veces 4} {1} = 20 [/ matemáticas]
Podemos poner todos los valores [math] y [/ math] del 4 al 10 en la ecuación para obtener el número de posibles colecciones. Sabemos que [math] n = 5 \ por lo tanto F = 10 [/ math] para todos estos.
[matemáticas] f (10) = \ frac {10!} {10! 0!} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (9) = \ frac {10!} {9! 1!} = 10 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (8) = \ frac {10!} {8! 2!} = \ frac {10 \ veces 9} {2} = 45 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (7) = \ frac {10!} {7! 3!} = \ frac {10 \ veces 9 \ veces 8} {6} = \ frac {720} {6} = 120 [/ matemáticas]
————————-
[matemáticas] f (6) = \ frac {10!} {6! 4!} = \ frac {10 \ veces 9 \ veces 8 \ veces 7} {4 \ veces 3 \ veces 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] f (6) = \ frac {10 \ veces 9 \ veces 7} {3} = \ frac {10 \ veces 3 \ veces 7} {1} [/ matemáticas]
[matemáticas] f (6) = 210 [/ matemáticas]
————————-
[matemáticas] f (5) = \ frac {10!} {5! 5!} = \ frac {10 \ veces 9 \ veces 8 \ veces 7 \ veces 6} {5 \ veces 4 \ veces 3 \ veces 2} [/matemáticas]
[math] f (5) = \ frac {9 \ times 8 \ times 7 \ times 6} {4 \ times 3} = \ frac {3 \ times 2 \ times 7 \ times 6} {1} [/ math]
[matemáticas] f (5) = 252 [/ matemáticas]
————————-
[matemáticas] f (4) = \ frac {10!} {4! 6!} = 210 [/ matemáticas] (igual que [matemáticas] f (6) [/ matemáticas])
Luego sumamos esas respuestas para obtener el número total de colecciones posibles para los valores válidos [math] y [/ math].
[matemáticas] 1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 = 848 [/ matemáticas]
Este número sigue siendo demasiado alto hasta que restamos todos los valores [math] g (y) [/ math]. Determinar [math] g (y) [/ math] es un poco más complicado, ya que solo tenemos un ejemplo de que es cualquier valor además de cero, a saber [math] (F, y) = (6, 3) \ por lo tanto g (y) = 4 [/ matemáticas]. Hemos visto que [math] g (y) = 0 [/ math] siempre que [math] y> \ sum \ limits_ {x = 1} ^ {n-2} x [/ math], por lo que solo necesitamos [math] g (y) [/ math] valores para [math] 6 \ le y \ le 4 [/ math].
Esto es lo más lejos que puedo proceder en este momento. Todavía no he descubierto cómo determinar la función [matemáticas] g (y) [/ matemáticas]. Voy a pasar un tiempo dándole vueltas (especialmente para el caso donde [matemáticas] (F, y) = (10, 4) [/ matemáticas]) y completar la respuesta cuando pueda. Si alguien tiene una pista para mí, me encantaría leerlo en los comentarios.
