¿Cuántas de las raíces necesitas (qué tan lejos debes llegar)?
Puede generar el primer par de funciones de Bessel del primer tipo para valores pequeños de x utilizando la expansión en serie (manteniendo solo el primer término):
J_n (x) ~ x ^ n / (2 ^ n * n!) – x ^ (n + 2) / (2 ^ (n + 2) * (n + 1)!))
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Usted determina hasta qué punto puede usar esto en función del error relativo que está dispuesto a aceptar (dado por la razón del segundo término al primer término):
x <2 * SQRT ((error relativo) * (n + 1))
En este punto, cambia a la expansión de serie asintótica en términos de los polinomios de Legendre:
J_n (x) = SQRT (2 / (pi * x)) (P_n (x) * cos (x – (n + 1/2) * pi / 2) – Q_n (x) * sin (x – (n + 1/2) * pi / 2)
Donde P_n (x) y Q_n (x) son los polinomios de Legendre del primer y segundo tipo:
P_0 (x) = 1
P_1 (x) = x
Q_0 (x) = 1/2 * ln ((1 + x) / (1 – x)) para -1 <x <1
Q_0 (x) = 1/2 * ln ((x + 1) / (x – 1)) de lo contrario
Q_1 (x) = 1/2 * x * ln ((1 + x) / (1 – x)) – 1 para -1 <x <1
Q_1 (x) = 1/2 * x * ln ((x + 1) / (x – 1)) – 1 de lo contrario
Ahora que tiene J_0 (x) y J_1 (x), puede usar la relación de recursión para encontrarlos para todos los valores más altos de n:
J_ (n + 1) (x) = 2n / x * J_n (x) – J_ (n – 1) (x) (excepto para valores muy cercanos a 0, para los cuales habrá un flujo inferior, en este caso recurrir a expansión de la serie convergente una vez más)
Para encontrar los ceros, puede usar el método de Newton o, si es vago y la velocidad de cálculo no es esencial, simplemente multiplique cada valor de J_n (x) por J_n (x + h) y observe qué valores de x el producto es negativo (estos son lugares donde la función cruza el eje x (ceros)).
Nota: En la práctica, parece que debería mantener tres términos para que J_0 (x) tenga un error inferior al 0.1% de x = 0 a x = 1 y luego cambie a la serie asintótica anterior:
plot ABS ((BesselJ [0, x] – (1 – x ^ 2/4 + x ^ 4/64)) / BesselJ [0, x]) de x = 0 a x = 1 – Wolfram | Alpha
plot SQRT (2 / (pi * x)) * (LegendreP [0, x] * cos (x – (1/2) * pi / 2) – LegendreQ [0, x] * sin (x – (1/2 ) * pi / 2)) para x = 1 a 10 – Wolfram | Alpha
