Gracias por el A2A. NB: no tengo un título universitario en matemáticas. Tengo una licenciatura en TI y eso es todo, por lo que no se debe suponer que mi solución es correcta sin un análisis profundo.
Aquí hay un intento original de una prueba. Comenzamos con el siguiente lema:
Lema: Dado [math] \ lim_ {x \ to x_0} f (x) = L [/ math], para la secuencia infinita [math] \ {a_n \} [/ math] convergente en [math] x_0 [/ math ], la secuencia infinita correspondiente [matemáticas] \ {f (a_n) \} [/ matemáticas] debe converger en L.
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Prueba: Si [math] \ lim_ {x \ to x_0} f (x) = L [/ math], entonces [math] \ forall \ epsilon> 0 [/ math] existe un [math] \ delta> 0 [ / math] tal que [math] | x – a_0 | \ leq \ delta \ implica | f (x) – L | \ leq \ epsilon [/ math]
Si [math] \ {a_n \} [/ math] converge a [math] x_0 [/ math] entonces esto significa que para [math] \ delta> 0 [/ math] existe un [math] N> 0 [/ matemática] tal que [matemática] \ forall n> N \ implica | a_n – x_0 | \ leq \ delta [/ math].
Pero, [matemáticas] | a_n – x_0 | \ leq \ delta \ implica | f (a_n) – L | \ leq \ epsilon [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] \ lim_ {n = \ infty} f (a_n) = L [/ matemáticas].
El corolario aquí es que, siempre que podamos encontrar dos secuencias [matemática] \ {a_n \} [/ matemática] y [matemática] \ {b_n \} [/ matemática] ambas convergen a [matemática] x_0 [/ matemática], y si descubrimos que [matemática] \ {f (a_n) \} [/ matemática] y [matemática] \ {f (b_n) \} [/ matemática] convergen a valores diferentes, entonces [matemática] \ lim {x \ a x_0} f (x) [/ math] no existe.
Tome cualquier número racional [matemáticas] r [/ matemáticas]. Evidentemente, la secuencia dada por [math] a_n = r + \ frac {1} {n} [/ math] está compuesta de todos los términos racionales, mientras que la secuencia dada por [math] b_n = r + \ frac {\ sqrt { 2}} {n} [/ math] se compone de todos los términos irracionales. Ambas secuencias convergen a [matemáticas] r [/ matemáticas]. Sin embargo, [math] \ {a_n \} [/ math] converge a [math] 1 [/ math] mientras que [math] \ {b_n \} [/ math] converge a [math] 0 [/ math], lo que demuestra que [math] \ lim_ {x \ to r} f (r) [/ math] no existe, lo que significa que la función Dirichlet no puede ser continua en ningún número racional.
Estoy seguro de que podríamos construir un conjunto de series auxiliares similares para demostrar que la función Dirichlet es discontinua en todos los números irracionales, y / o demostrar que si una función es discontinua en todos los números racionales, también es discontinua en todos los números irracionales, pero en este momento no veo cómo y agradecería un poco de ayuda: D.
