¡Intentaré responder a mi propia pregunta!
- Respuesta corta :
Moverse en una superficie de un punto a otro se realiza a través de las derivadas parciales porque cuando ahora tiene un punto (a, b, f (a, b)) puede ir a un punto cercano a través de la derivada parcial (puede ver el único caso variable en la tercera imagen a continuación). Esto es sutilmente diferente de la continuidad de la función misma. La función debe ser continua para que podamos comenzar a hablar de parciales.
La continuidad de una función significa que hay que ir al punto. Las derivadas parciales son los medios para llevarlo allí, mientras que las derivadas parciales continuas significan que puede tomar todas las rutas disponibles para ir allí, dado que el punto al que debemos ir está cerca del punto original y las rutas están en un vecindario cerca del Entonces, necesitamos que las derivadas parciales sean continuas en un vecindario cercano al punto original para que la función sea diferenciable en ese punto. Entonces, si este es el caso y cada ruta que conecta los dos puntos está disponible, entonces tenemos una aproximación lineal de la función en el punto original y a través de esa aproximación podemos obtener los otros puntos cercanos. Eso significa que existe un plano tangente en ese punto y ese plano contiene las rutas disponibles desde el punto original a cada punto cercano a él.
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- Respuesta larga :
Creo que todo se reduce a que la derivada es una buena aproximación alrededor de un punto donde la función es diferenciable.
Por ejemplo, de cálculo de variable única:
g (x) (función a la derecha) es diferenciable en todas partes, lo que significa que podemos tomar una línea tangente en cualquier punto de su gráfica y podemos usarla para aproximar puntos cercanos de la gráfica. Por otro lado, f (x) (gráfico de la izquierda) no es diferenciable en el punto donde hay una esquina porque no sabemos qué línea es tangente a ese gráfico, por lo que no sabemos con qué línea podemos aproximar los puntos cercanos . Esto se ilustra aquí (con las líneas azul y roja como líneas tangentes a f (x) en x = a desde su izquierda y derecha, respectivamente):
Además, por aproximación (lineal) me refiero a lo siguiente:
Los puntos cercanos a x = a (para Δx pequeño) se pueden calcular aproximadamente a partir de la recta tangente a x = a.
Otro ejemplo es y = | x | :
Para x 0 tiene un valor positivo. Pero, ¿qué valor tiene la derivada en x = 0? O, más importante, ¿cuál es la línea tangente en x = 0? ¡No hay ninguno! La función no es diferenciable en ese punto. No hay una línea con la cual podamos aproximar puntos cercanos x = 0.
Para el caso tridimensional, una buena aproximación alrededor de un punto para el cual la función es diferenciable es un plano en lugar de una línea; es decir, una colección de líneas infinitas todas tangentes a la gráfica en ese punto.
Ahora, yendo a un caso multivariable análogo al caso y = | x | de variable única:
Aquí, la función es continua, las derivadas parciales existen en todas partes, pero las derivadas parciales son discontinuas, por lo que no hay un plano que sea tangente a la gráfica en (0,0,0).
Del mismo modo que pasamos de f (x = a) a f (x = a + Δx) a través de la aproximación lineal de f en x = a (la línea tangente), para el caso multivariable podemos “movernos” con mas libertad. Podemos pasar de f (a, b) a f (a + Δx, b + Δy) de muchas maneras. Para poder moverse de todas las formas posibles (es decir, para que exista el plano tangente porque el plano tangente contiene todos los caminos posibles que podemos recorrer para ir al siguiente punto que está cerca (a, b)), el parcial las derivadas deben existir y ser continuas, de lo contrario habrá caminos en el plano tangente que no podremos atravesar porque contendrá puntos en los que el plano no será una buena aproximación de la función debido a la discontinuidad de la parcial derivados.
Como extra, señalaré que la derivada parcial fx (derivada a lo largo del eje x) es continua a lo largo de la línea y = 0 y lo análogo va para fy. También existen en (0,0,0). Así, desde una primera vista en la ecuación del plano tangente:
uno esperaría falsamente que el plano debería existir en (xo, yo, zo) = (0,0,0). Eso no es cierto como podemos ver en la gráfica de f. Por lo tanto, he forzado la intuición de por qué necesitamos que las derivadas parciales (solo las parciales porque todas las otras derivadas direccionales se pueden obtener por el gradiente) existan y sean continuas alrededor de un punto para que la función sea diferenciable en ese punto ; es decir, tener un plano tangente a ese punto; es decir, tener otra función que sea una buena aproximación de la función original en ese punto. 😀
En conclusión, todo se reduce a una función suave:
[Las imágenes fueron tomadas de las imágenes de Google, excepto de la segunda imagen que fue tomada de Advanced Calculus – A Geometric View | James J. Callahan | Springer, la quinta imagen que fue tomada de Vector Calculus (4a edición): Susan J. Colley: 9780321780652: Amazon.com: Libros y la última imagen que fue tomada de Vector Calculus: Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba: 9780716749929: Amazon .com: Libros]
