Considere un objeto que no puede moverse pero que puede girar libremente alrededor de un eje, como un torniquete o un tiovivo. La descripción del estado de este objeto se realiza de forma más natural especificando el ángulo en el que se rota en relación con algún “Norte” fijo. Entonces, este sistema es modelado naturalmente por el círculo en lugar de por una línea recta (espacio euclidiano en una dimensión).
En mecánica clásica, también querrías incluir la velocidad a la que cambia el ángulo (o el momento angular). Esto sería simplemente un número real, por lo que el estado completo de un sistema se describe mediante (ángulo, momento) que es un par (ángulo, número). Geométricamente, ese es un cilindro infinito.
Esto se extiende al sistema de múltiples componentes que tienen rotaciones como grado de libertad. Por ejemplo, el estado de un péndulo doble (solo posición, no momento) está dado por dos ángulos independientes, que geométricamente es un toro.
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Incluso cuando el espacio de configuración (el conjunto de coordenadas de “posición” permitidas) es espacio euclidiano (por ejemplo, tenemos n partículas independientes en el espacio, por lo que todo el sistema está modelado por un espacio tridimensional), el espacio de fase (posición y momento) coordenadas) se considera clásicamente como una variedad simpléctica. Si todavía considerarías o no este “espacio euclidiano” es una cuestión de terminología, pero la mayoría de la gente no lo consideraría como un espacio euclidiano 6n-dimensional ordinario.
Hay muchos sistemas, en biología, química, ingeniería y demás, que se describen de forma muy natural mediante una combinación de ángulos y parámetros reales. Los ejemplos incluyen plegamiento de proteínas, estructura e interacción de moléculas, circuitos eléctricos, engranajes y mucho más. En su mayor parte, tales sistemas no están descritos adecuadamente por el espacio euclidiano, sino por múltiples más involucrados que incluyen dimensiones compactas para ángulos, las líneas usuales para coordenadas de posición y, a menudo, una estructura simpléctica para unirlo todo.
