¿Por qué no [math] F = \ frac {m \ Delta v} {m \ Delta t} [/ math]?

Como señala Matt Hodel, cometió un error al suponer que la multiplicación es distributiva sobre la división, lo cual no es así.

Pero para ayudar a evitar tales errores en el futuro, existe una herramienta útil llamada análisis dimensional , que puede usar para verificar sus cálculos y asegurarse de que ‘tengan sentido’ en un nivel fundamental.

El análisis dimensional implica expresar los elementos de una ecuación en física en términos de parámetros físicos fundamentales, o “dimensiones”. Dependiendo del tipo de física que uno esté haciendo, hay diferentes conjuntos de dimensiones que uno puede elegir, pero para mucha física, y ciertamente para mecánica, dinámica y cinemática (es decir, la física de las fuerzas, momentos, velocidades y cinética y potencial). energía relacionada con el movimiento de los cuerpos físicos), la elección habitual de dimensiones fundamentales es Masa (M), Longitud (o distancia) (L) y Tiempo (T).

Para realizar un análisis dimensional, simplemente reemplaza cada elemento de una ecuación por su equivalente en términos de estas dimensiones fundamentales, sin preocuparse por las magnitudes reales o los valores numéricos de esos elementos. Luego multiplica todas las dimensiones en un lado de la ecuación, usando las reglas simples de la manipulación de exponentes (o ‘potencias’), para obtener la dimensionalidad resultante de ese lado, y luego haz lo mismo con el otro lado de la ecuación. ecuación. Si las dimensiones de ambos lados de la ecuación son las mismas, puede concluir que ‘tiene sentido’ y es ‘correcto’ en términos de su dimensionalidad. Si son diferentes, entonces sabes que has cometido un error.

Entonces, mirando la ecuación

[matemáticas] F = ma [/ matemáticas],

podemos encontrar la dimensionalidad de [matemáticas] F [/ matemáticas], la fuerza, resolviendo la dimensionalidad del lado derecho. Las dimensiones de [math] m [/ math] son ​​solo masa, M. Las dimensiones de [math] a [/ math], aceleración, son velocidad / tiempo, o (longitud / tiempo) / tiempo, o longitud / (tiempo ) ^ 2, es decir,

[matemáticas] [a] = LT ^ {- 2} [/ matemáticas]

donde los corchetes en ‘[a]’ significan ‘las dimensiones de a’.

Entonces, la dimensionalidad total del lado derecho es

[matemáticas] [ma] = MLT ^ {- 2} [/ matemáticas],

y esta es, por lo tanto, la dimensionalidad de la fuerza en el lado izquierdo. (Y todas las fuerzas tienen esta misma dimensionalidad fundamental, sin importar el contexto o la naturaleza de la fuerza).

Mirando tu ecuación,

[matemáticas] F = \ frac {m \ Delta v} {m \ Delta t} [/ matemáticas],

Uno puede ver de inmediato que la dimensionalidad del lado derecho es

[matemáticas] [\ frac {m \ Delta v} {m \ Delta t}] = MLT ^ {- 1} .M ^ {- 1} .T ^ {- 1} = LT ^ {- 2} [/ matemáticas ],

que claramente no es la dimensionalidad de la fuerza en el lado izquierdo, por lo que sabemos que la ecuación está equivocada.

Por cierto, el análisis dimensional también implica que todos los términos en una suma de términos deben tener la misma dimensionalidad. Por ejemplo, no tiene sentido agregar una longitud a un área a un volumen, por lo que una expresión como

[matemáticas] y = x + x ^ 2 + x ^ 3 [/ matemáticas]

no tiene sentido si x tiene las dimensiones de longitud (o cualquier otra dimensión física, para el caso). Todos los términos en un polinomio, si aparece en una ecuación de física, deben ser adimensionales (es decir, los exponentes de todas las dimensiones en cada término deben sumar cero). Esto significa que el argumento de funciones como sin (x), exp (x) y log (x) también debe ser adimensional, ya que todas estas funciones se pueden expresar como series infinitas (polinomios de grado infinito en x).