Tienes razón en que no existe una noción única de tiempo. Sin embargo, todo lo que necesitamos para un formalismo hamiltoniano es una noción global del tiempo. Por global queremos decir que se define en todo el espacio-tiempo y no solo en una pequeña región / parche de coordenadas.
Comencemos con un ejemplo más simple para ver por qué no tener una noción de tiempo única no es un problema. Pensemos en una teoría de campo sobre el espacio-tiempo de Minkowski. ¿Hay una noción única de tiempo aquí? No, el tiempo es diferente para los observadores que viajan a diferentes velocidades. Siempre puede realizar una transformación de Lorentz de un sistema de coordenadas a otro y obtener un momento diferente. Como muestran las imágenes:
(fuente de la imagen: espacio-tiempo y la relatividad de la simultaneidad)
En otras palabras, puede tomar el espacio-tiempo de Minkowski (que parece un bloque) y cortarlo de muchas maneras diferentes. Cada uno corresponderá a un tiempo global diferente.
Pero eso no nos impide tener una formulación hamiltoniana. Simplemente elegimos uno de los posibles cortes. Esto nos da una familia de rebanadas espaciales y un reloj global. Luego, escribimos el hamiltoniano para desarrollar el campo en nuestra familia de cortes elegida de acuerdo con nuestra noción de tiempo elegida.
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Lo que cambia cuando vamos a GR es que ya no tenemos marcos de referencia de inercia global. En un espacio-tiempo arbitrario, en general no se puede encontrar un sistema de coordenadas que sea cierto para todo el espacio-tiempo. Sin embargo, puede ser posible definir una noción global del tiempo todavía. ¿Como es eso? Bueno, supongamos que hay una curva que atraviesa el espacio-tiempo que es como el tiempo en todas partes. Ahí, eso te da un reloj global. Ahora, si puede cortar el espacio-tiempo de manera que todas las rebanadas parecidas a un espacio toquen esta curva temporal solo una vez, entonces tendrá un corte. Puede parecer un poco más raro (fuente de la imagen: página en relativite.obspm.fr)
Aquí vemos un espacio-tiempo curvo, por lo que no hay coordenadas, pero aún hemos logrado cortarlo en rebanadas en forma de espacio. Puede dividir esto de diferentes maneras y puede elegir diferentes curvas temporales para recorrerlo. Una vez que hagas la elección, puedes evolucionar los cortes usando un Hamiltoniano.
