La topología es una forma muy general de agregar información a otros objetos matemáticos al “equiparlos con topologías”. La topología en un conjunto a menudo le dice en cierto sentido qué tipo de control tiene sobre un elemento del conjunto. En esta etapa, se infunde en las matemáticas como la red de calles se infunde en las ciudades y pueblos.
Un ejemplo familiar es la forma en que es posible tener una secuencia de curvas [matemáticas] C_i [/ matemáticas] que son mucho más largas que la curva límite [matemáticas] C [/ matemáticas]. Ser capaz de mantener una curva cerca de otra no es suficiente para controlar su longitud, como la forma en que tener una correa en un perro no es suficiente para limitar la distancia que recorre el perro para estar cerca de la distancia que recorres. El perro puede correr de ida y vuelta a larga distancia, sin embargo, hay poca libertad para moverse. Se puede requerir que [math] C_i [/ math] para [math] i [/ math] grande esté muy cerca de [math] C [/ math] pero pueden oscilar enormemente dentro de esa restricción. Por otro lado, si podemos controlar no solo la posición sino también la dirección, podemos controlar la longitud de la curva. Estos representan dos topologías diferentes en el espacio de curvas que estamos considerando. En la primera topología, dos curvas cuentan tan juntas si sus posiciones son similares en todas partes. En el segundo, para estar juntos, deben tener tangentes cercanas en todas partes.
En geometría algebraica, la topología se aplica de una manera relativamente abstracta. Los conjuntos cerrados de un espacio a veces son conjuntos de puntos que pueden definirse mediante un conjunto de ecuaciones polinómicas. Esto requiere una intuición un poco diferente a los casos en que la topología le dice lo que se necesita para que un objeto esté “cerca” de otro.
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Es muy común en matemáticas que un espacio tenga una topología y un subconjunto denso contable (es decir, la topología es “separable”). En términos generales, para especificar un elemento de un conjunto contable se requiere mucha información y, por el contrario, si cada elemento de un conjunto se puede especificar completamente con una etiqueta finita, entonces el conjunto es contable. Cuando hay un subconjunto denso contable, significa que, en cierto sentido, podemos aproximarnos a un elemento del conjunto por muy bien que queramos usar una cantidad finita de información. Entonces es intuitivo que a menudo queremos esta propiedad. En muchos casos comunes, el conjunto en su conjunto puede construirse a partir de su subconjunto denso contable, como por ejemplo los números reales pueden considerarse como clases de equivalencia de secuencias de racionales. La topología sirve como una especie de hilo común que se ejecuta en todas estas construcciones.
