Los ceros de un movimiento browniano
Los ceros de una función [math] f (t) [/ math] es el conjunto de [math] t \ in \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] f (t) = 0. [/ Math ]
Por ejemplo, si [matemática] f (t) = t ^ 2 [/ matemática] entonces los ceros de [matemática] f (t) [/ matemática] [matemática] [/ matemática] es solo el conjunto [matemática] \ { [/mathfont>[mathfont>0\}.[/math]
- Si la siguiente figura muestra 3 conjuntos A, B y C y conocemos todas las combinaciones posibles de los tres conjuntos que son A, B y C; B y C, C y A, A y B juntos y sus valores son constantes. ¿Cómo averiguar el valor máximo y mínimo de la intersección A intersección B C?
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Si [math] B_t [/ math] es un movimiento browniano unidimensional (t es el tiempo, [math] B_t [/ math] la posición en el tiempo [math] t [/ math]) entonces definimos el conjunto: (para cada [math] \ omega \ in \ Omega) [/ math]
[matemática] C_ \ omega = \ {t \ in \ mathbb {R} ^ + [/ matemática] [matemática] \ text {tal que} [/ matemática] [matemática] B_t (\ omega) = 0 \} [/ matemáticas]
lo que significa [matemática] C_ \ omega [/ matemática] son los conjuntos de [matemática] t [/ matemática] tal que [matemática] B_t (\ omega) = 0. [/matemáticas]
Nada especial hasta ahora ¿verdad?
(si no sabe acerca de los procesos estocásticos y la teoría de la medida, olvide las [matemáticas] \ omega [/ matemáticas] y piense en [matemáticas] C_ \ omega [/ matemáticas] como los ceros de [matemáticas] B_t [/ matemáticas])
En caso de que nunca haya visto un movimiento browniano, se ve así:
Luego, el conjunto [matemáticas] C_ \ omega: [/ matemáticas]
- No tiene límites (lo que significa que eventualmente [math] B_t [/ math] regresa a 0 sin importar cuánto tiempo haya pasado)
- Tiene Lebesgue medir [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y vacío interior.
- (Y aquí viene la magia) Es un conjunto perfecto
Un conjunto perfecto es un conjunto cerrado sin puntos aislados (todos los puntos son puntos de acumulación; por ejemplo, los números racionales y los números irracionales)
Lo que implica que si [math] B_ {t_0} = 0 [/ math] para algunos [math] t_0 [/ math]. entonces, para cada vecindario pequeño [matemático] \ epsilon – [/ matemático] arbitrario de [matemático] t_0 [/ matemático], hay un [matemático] t_ \ épsilon [/ matemático] tal que [matemático] B_ {t_ \ épsilon } = 0. [/ Matemáticas]
Pero dado que [matemáticas] B_ {t _ {\ epsilon}} = 0 [/ matemáticas] entonces [matemáticas] C_ \ omega [/ matemáticas] es perfecto, [matemáticas] t _ {\ epsilon} [/ matemáticas] también es una acumulación punto de [math] C_ \ omega [/ math] y nuevamente [math] [/ math] para cada vecindario de [math] t _ {\ epsilon} [/ math] hay [math] t’s [/ math] tal que [ matemáticas] B_t = 0 [/ matemáticas] y así sucesivamente ..
En palabras, cada vez que el movimiento browniano llega a cero, seguirá regresando a 0 como un hombre borracho golpeando un lampost y el conjunto de cero es “extremadamente denso”, pero “no es suficiente” para tener una medida positiva de Lebesgue.
