Suponiendo que se le permite suponer que [a, b] está cerrado para cualquier número real a, b, el intervalo cerrado [0,1] sirve como un contraejemplo rápido. Puede indicar rápidamente que 0 es un punto límite, pero los puntos límite, por su definición, no son puntos interiores.
Con mucho detalle, se vería así:
Supongamos, por contradicción, que el interior del conjunto cerrado [0,1] es igual al conjunto mismo.
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Para cualquier e tal que 0 <e <1, vemos que 0 + e está en [0,1] y 0 – e no está en [0,1]. Por lo tanto, ninguna bola centrada en 0 es un subconjunto de [0,1] o ([0,1] complemento), por lo que 0 es un punto límite de [0,1].
Como consecuencia clara de la definición de puntos interiores, 0 no es un punto interior, por lo que 0 no está en el interior de [0,1]. Pero 0 está en [0,1], entonces claramente [0,1] no es igual a su interior
Editar: En realidad, un enfoque aún más rápido sería usar el punto {0}. Está cerrado ya que su complemento está abierto, y usted sabe que no tiene puntos interiores porque cada bola centrada en 0 tiene un punto que no está en {0}.
