¿Está demostrado que todos los axiomas son imposibles de probar?

Los axiomas son los supuestos lógicos principales que subyacen a los sistemas formales, de los cuales (junto con las leyes de deducción) las declaraciones o sus negaciones PUEDEN obtener su verificación para convertirse en teoremas a través de pruebas rigurosas.

No todas las declaraciones pueden ser probadas; de hecho, el primer teorema de incompletitud de Gödel garantiza que ningún sistema formal lo suficientemente complejo como para describir la aritmética básica de los números naturales puede ser completo, consistente y efectivamente enumerable al mismo tiempo (Estos son términos cuyas definiciones exactas ya no espero Lo sé, pero no voy a entrar en detalles aquí. Te animo a que aprendas este teorema ya que estás interesado en cuestiones de demostrabilidad, junto con su segundo teorema de incompletitud).

Si se probara un axioma, ya no sería un axioma, sino que se eliminaría de la lista de axiomas y se declararía un teorema. Por lo tanto, no puede haber probado un axioma. Las pruebas están reservadas para los teoremas. En otras palabras, los axiomas son imposibles de probar, por definición.

Trataré de dar un poco más de contexto aquí.

Primero, debemos tener en cuenta que no todos los axiomas son en realidad axiomas. Hay una serie de ejemplos en matemáticas donde una declaración se incluye en una lista de axiomas por conveniencia, pero en realidad es demostrable a partir de otros axiomas enumerados. ZFC proporciona dos ejemplos de esto: el axioma de la existencia establecida y el axioma del emparejamiento. Ambas declaraciones son demostrables usando otros axiomas en la lista. Por lo tanto, la lista estándar de axiomas para ZFC no es mínima: contiene información redundante. Pero eso llega al meollo de su pregunta: ¿cómo puede saber cuándo una lista de axiomas es mínima?

La técnica principal para tratar de establecer la minimidad de una lista de axiomas es demostrar que cada axioma es independiente de los demás. Si tengo una lista de axiomas [matemática] \ alpha = \ {A_1, A_2, … A_n \} [/ matemática] y otro axioma [matemática] A_ {n + 1} [/ matemática], puedo demostrar que [matemática ] A_ {n + 1} [/ math] es independiente de los otros axiomas en [math] \ alpha [/ math] al dar un modelo matemático en el que [math] \ alpha [/ math] y [math] A_ {n +1} [/ math] hold y otro modelo matemático en el que [math] \ alpha [/ math] y la negación de [math] A_ {n + 1} [/ math] hold. Un buen ejemplo de esto es la independencia del quinto postulado (el postulado paralelo) en geometría: se mantiene en la geometría euclidiana, pero mantener todos los demás postulados y negar el postulado paralelo da lugar a otras geometrías ricas (es decir, geometrías elípticas e hiperbólicas ) Esto demuestra que el postulado paralelo no puede ser probado a partir de los otros postulados.

Para ZFC, la independencia de varios axiomas se ha establecido de esta manera: el axioma de la regularidad, el axioma del infinito y el axioma de elección. Si pudiéramos aplicar esta técnica a todos los axiomas de la lista, estaríamos listos para establecer la independencia de cada axioma. Desafortunadamente, existen límites prácticos para la técnica. Una vez más, tome ZFC como ejemplo: no se puede dar una prueba de independencia del axioma de la extensionalidad utilizando la técnica anterior; necesitamos la extensionalidad para que cualquier modelo de teoría de conjuntos tenga sentido. Lo mismo es probablemente cierto para los axiomas de unión, reemplazo y comprensión, ya que alguna versión de cada uno aparece en cada teoría de conjuntos que he estudiado.

Por lo tanto, en algunos casos, podemos quedarnos con un conjunto central de axiomas que solo podemos asumir que son independientes. Vale la pena señalar que, cuando este es el caso, también nos vemos obligados a asumir que estos axiomas son consistentes, es decir, cuando se usan juntos, no conducen a una contradicción.

Los axiomas son la base de una teoría.

No están destinados a ser probados dentro de la teoría para la cual son una base. Porque si un axioma pudiera probarse del resto de los axiomas en esa teoría, entonces podría eliminarse de la lista de axiomas para esa teoría.

A veces es difícil saber cuándo no se puede probar un axioma del resto de los axiomas. Incluso Hilbert, en su 1899 Fundamentos de la geometría tenía un axioma redundante. Se descubrió que ese axioma en particular se deduce del resto en 1902, por lo que en sus ediciones posteriores de su libro ese axioma se eliminó y se convirtió en un teorema.

La forma general de mostrar que todos los axiomas son necesarios para una teoría, es decir, que los axiomas son independientes, es encontrar para cada axioma un modelo que satisfaga a todos los demás axiomas pero no ese axioma. Eso muestra que no se sigue del resto.

La pregunta revela una clara falta de comprensión de “prueba” (o quizás “axioma”).

Por definición, cualquier axioma se puede probar simplemente declarándolo.

Una vez que comprenda este hecho completamente, estará bien encaminado para comprender la prueba matemática (o más bien, lógica).