A menudo se afirma que el análisis complejo es una de las ramas más útiles y bellas de las matemáticas, y que posee una elegancia ausente del análisis real. ¿Hay alguna razón profunda por la cual este sería el caso?

Las funciones holomórficas se comportan localmente como la multiplicación por un número complejo. Esta es una condición mucho, mucho más fuerte que solo la función es suave (eso solo le dirá que la función localmente parece un operador lineal). La multiplicación por un número complejo distinto de cero tiene la maravillosa propiedad de que conserva los ángulos (de hecho, es solo una rotación más una escala), lo que inmediatamente le dice que las funciones holomórficas preservan los ángulos (suponiendo que la derivada no sea cero).

El punto es este: los números complejos capturan información geométrica de una manera que los números reales no lo hacen. No es tan sorprendente, entonces, que el análisis complejo le brinde funciones de mejor comportamiento y resultados mucho más hermosos.

El análisis complejo en 1 variable es solo una parte de la belleza matemática. La verdadera belleza y emoción viene en mayores dimensiones y múltiples (superficies de Riemann, múltiples complejos, varias variables complejas).

Parte de la belleza en el análisis complejo en 1 variable es que las funciones holomórficas son armónicas y, por lo tanto, heredan muchas propiedades agradables de las funciones armónicas, como el teorema del valor medio, el principio máximo, el principio mínimo (por el hecho de que es a la vez superharmónico y subarmónico) , teorema de mapeo abierto, etc. También satisface la fórmula integral de Cauchy, lo que lleva a la existencia de series de potencia, etc. (tenga en cuenta que no siempre se obtiene la existencia de series de potencia para funciones diferenciables reales).

Luego, con todos los fundamentos establecidos, tenemos varias opciones. O pasamos a variedades de 1 dimensión, que es la superficie de Riemann, o continuamos con varias variables complejas, ambas son igualmente interesantes. En varias variables complejas, hay temas fundamentales como el problema de la barra d de Neumann, las estimaciones L2 de Hormander, la geometría de Kahler, la teoría de Hodge, los sistemas dinámicos complejos, etc. Las superficies de Riemann sirven de inspiración para estudiar las curvas algebraicas y, por lo tanto, para la investigación en geometría algebraica. El siguiente enlace ofrece una gran descripción de cómo varias variables complejas pueden ser muy útiles:

http://math.stackexchange.com/qu …

En resumen, el análisis complejo es hermoso, pero lo es porque su belleza es solo el comienzo.

Bueno, no todas las funciones en [math] \ mathbb {C} [/ math] son ​​analíticas como parece afirmar la cita. Sin embargo, los que nos interesan en el análisis comlex tienden a ser funciones holomórficas que son analíticas. Ser holomórfico es una condición tan fuerte en una función que se muestran todas estas propiedades “mágicas” de las funciones holomórficas. No es solo tener cosas en un avión; las funciones en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] no son particularmente especiales como lo son las funciones en [math] \ mathbb {C} [/ math]. Es que ser holomorfo es tan fuerte.

Piensa en una función real de una variable: si tiene un límite en un valor a, o una derivada en a, sabes algo sobre lo que sucede en ese punto desde dos direcciones, izquierda y derecha. Si tiene una función compleja de una variable compleja, decir que existe un límite o derivada en un punto suena igual que el caso real, pero debido al hecho de que hay un número infinito de direcciones a ese punto a considerar, la existencia de límites y derivados requiere que las funciones se comporten extremadamente bien, y eso permite los sorprendentes resultados que nos presenta el análisis complejo.