La probabilidad de que un número x sea primo se convierte en cero cuando x se acerca al infinito. La geometría demuestra números primos infinitos. ¿Cómo es esto posible?

Matemáticamente solo tienes que verificar los números enteros hasta la raíz cuadrada de un número dado cuando ejecutas una prueba principal. Más grande que ese valor y es probable que ya hayas encontrado su factor recíproco.

A medida que se acerca al infinito, el número de valores menores que el límite de raíz cuadrada aumenta de manera similar. Con ese crecimiento, la probabilidad de que uno de esos números sea un factor de X también aumenta, hasta que se acerque a la unidad.

Sin embargo, nunca llegarás a la unidad.

Hay una pequeña falacia en tu pensamiento: que “acercarse al infinito” significa “se convierte en cero”. La realidad es que “se acerca al infinito” significa recíprocamente, en este caso, “se acerca a cero”.

Todas las respuestas aquí son buenas. Pero hay una manera más fácil de decirlo. A medida que avanzamos en los números de conteo, los números primos se vuelven más raros. Esto no sucede a un ritmo constante, pero a lo largo de grandes períodos, es persistente. Primes siendo más raro significa que la probabilidad de que cualquier número dado (x) sea primo es menor. Esto continúa hasta el infinito.

No es diferente a decir que las probabilidades de que un número se pueda escribir como 1 × 10 ^ n (1, 10, 100, 1000, 1000 …) aumentan menos a medida que contamos más. Simplemente hay más números que no cumplen con esa definición que números que cumplen con la definición por cualquier intervalo de números.

Por lo tanto, a medida que nos dirigimos hacia el infinito, nos encontramos con primos cada vez más raramente. Pero nunca llegamos al infinito, y nunca alcanzamos el último primo. Siempre hay más números para contar, y siempre hay un primo más por encontrar.

Los números naturales son infinitamente contables. “Probabilidad se acerca a cero” no significa “imposible”, porque 0 es una asíntota.

Ver también: casi seguro.

Versión corta de un individuo no matemático:

La probabilidad, como se expresa en la pregunta, es una función límite, no una función absoluta. Es una aproximación muy cercana, pero no una respuesta concreta.

Buena pregunta. La respuesta esta en los detalles. La probabilidad no se “convierte en cero”, sino que se acerca cada vez más a cero a medida que X aumenta. Si alguna vez llegó a cero (y permaneció allí), entonces habría un número finito de primos.

No conozco una prueba geométrica de que no hay límite para el número de primos. A lo que estoy acostumbrado es que no importa cuán grande sea un conjunto finito de primos que tenga, siempre puedo encontrar uno más, multiplicando todos los miembros del conjunto y agregando uno, porque ese nuevo número no es múltiplo de ningún miembro del conjunto y es en sí mismo un nuevo primo o un compuesto de nuevos primos.

Esos pasos se pueden usar para mostrar que la probabilidad de que X sea primo no es cero, porque no importa qué sea X, siempre puedo encontrar un rango de valores que incluya X y tenga al menos un primo en el rango. Por supuesto, a medida que X aumenta, mi rango aumenta.